Symétries, intégrabilité et logarithme discret
L'espace-temps est quantifié, en vertu de l'échelle de Planck. Même à plus grande échelle, où l'Univers semble continu, de nombreux phénomènes sont discrets, comme ceux se produisant dans les cristaux, les chaînes moléculaires ou atomiques. Dès lors, les équations à différences pourraient être plus fondamentales que les équations différentielles. Par ailleurs, les équations différentielles doivent souvent être résolues numériquement. En d'autres termes, elles doivent être rendues discrètes, et donc approximatives, par le biais d'un système à différences. Le projet SPEDIS (Symmetry preserving discretization of integrable, superintegrable and nonintegrable systems) visait à développer et appliquer des outils mathématiques efficaces pour l'étude des phénomènes quantiques et classiques dans un environnement discret. Les scientifiques visaient essentiellement les modèles présentant une symétrie et une intégrabilité dans des modèles dimensionnels intégrables et superintégrables finis et infinis. Les systèmes intégrables comprennent plusieurs intégrales du mouvement et plusieurs degrés de liberté (qui peuvent être finis). Les systèmes superintégrables présentent plus d'intégrales du mouvement que de degrés de liberté étant donné que cette catégorie d'intégrales forme des modules non abéliens intéressants. Les intégrales du mouvement sont liées aux symétries du système. Il peut s'agir de symétries de points de Lie, mais il s'agit essentiellement de symétries généralisées qui forment des algèbres plus générales. Le but du projet visait à étudier et utiliser les symétries de Lie des équations à différences et à rendre les équations différentielles discrètes tout en préservant leurs propriétés les plus importantes. Il s'agit notamment de symétries de points de Lie, de symétries générales, d'intégrabilité et de superintégrabilité. Les travaux ont donné lieu à de nombreux articles scientifiques. Quatre publications sont consacrées à un nouveau secteur, à savoir la symétrie préservant la discrétisation d'équations différentielles partielles. Elles ont des applications pratiques dans le secteur de l'intégration géométrique. Trois d'entre elles portent sur les équations présentant des algèbres de symétrie dimensionnelle infinie. Trois autres ont pour objet les équations différentielles et à différences ordinaires non linéaires: la construction des intégrales premières, la discrétisation et les formules de superposition non linéaires. Quatre sont consacrées aux nouveaux types de systèmes superintégrables. Ces formules englobent des particules des champs magnétiques, les particules avec spin et présentant des intégrales de mouvement d'ordre supérieur.
Mots‑clés
Outils mathématiques, équations à différences, équations différentielles, SPEDIS, intégrable
