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Large Deviations and Measure Rigidity in Dynamics

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Comment l'étude des systèmes dynamiques nous aide à mieux comprendre le chaos quantique

Une étude sur l'évolution des systèmes dynamiques, financée par l’Union européenne, a débouché de façon inattendue sur une meilleure connaissance du chaos régnant dans le monde quantique.

Recherche fondamentale

Au sein des mathématiques, la théorie des systèmes dynamiques étudie l'évolution des systèmes qui changent au cours du temps. En utilisant la règle dite de l'évolution dans ce cadre, les chercheurs devraient être capables de décrire l’état futur d’un phénomène en fonction de son état actuel. Un large panel de domaines scientifiques, bien au-delà des seules mathématiques, pourrait bénéficier de ces prédictions, comme la physique, la biologie, la chimie, l'ingénierie, l'économie ou la médecine. Le projet LDMRD (Grandes déviations et mesure de la rigidité en dynamique) financé par l'UE a donc été initié pour développer de nouveaux outils adaptés à cette théorie des systèmes dynamiques, tout en explorant les applications possibles pour des problèmes liés à la physique mathématique, la géométrie ou l'arithmétique. L'un des principaux objectifs du projet était de poursuivre l'étude de la «rigidité de la mesure», un paramètre qui faciliterait des mesures de précision lorsque plus d'un système dynamique se comporte très différemment au fil du temps. Exploiter les outils Au sein de la théorie des systèmes dynamiques, la règle dite de «l'évolution» est largement déterministe, ce qui signifie que pour une période de temps spécifique seulement, un état futur suit l'état actuel. Pourtant, certains sont plus chaotiques, dans la mesure où des événements externes aléatoires peuvent influencer concrètement le devenir de certains systèmes dynamiques. C'est pour cette raison que la théorie des systèmes dynamiques s'est révélée particulièrement applicable à la mécanique quantique. Comme nous l’explique le coordinateur du projet LDMRD, le Dr. Tuomas Sahlsten: «Cette théorie est particulièrement utile pour étudier des systèmes «chaotiques» dans le sens où deux systèmes peuvent évoluer sur des trajectoires radicalement différentes même s'ils partent de positions proches l’un de l’autre. Les outils nécessaires à l'exploration de la rigidité des mesures des systèmes dynamiques (basés sur les travaux de Bernard Host dans les années 1990) dépassaient de loin ceux actuellement disponibles, obligeant l'équipe à apprendre des disciplines voisines. Ils ont donc emprunté à la théorie des nombres, à la théorie des représentations, du chaos quantique et d'autres disciplines. Comme sous-produit de ce processus, les chercheurs ont relevé l'applicabilité de ce projet à la mécanique quantique, ce qui les a conduits à formuler un nouveau théorème du chaos quantique thermodynamique combinant des idées provenant des grands réseaux. Les grands réseaux - tels que les Big Data, les réseaux sociaux, les réseaux de neurones convolutifs des modèles d'Intelligence Artificielle - qui, bien que couramment utilisés aujourd’hui, ne possèdent pas encore de théories adéquates permettant d’expliquer leur fonctionnement. L’une des approches adoptées en général est celle de la théorie spectrale, et l'équipe du LDMRD a réussi à générer de nouvelles idées concernant les propriétés spectrales théoriques des surfaces à grande échelle, qui servent d’analogues à ces réseaux à grande échelle. Comme le développe le Dr. Sahlsten : «La découverte de loin la plus extraordinaire et la plus excitante du projet concerne de fait cette connexion avec la mécanique quantique. Il est parfois difficile de prédire, avant de commencer les travaux de recherche, quelles sont les découvertes qui vont émerger lorsque vous commencez réellement à travailler sur le sujet». Une compréhension beaucoup plus profonde du chaos quantique En approfondissant nos connaissances sur le chaos quantique, les partenaires du projet apportent également une contribution majeure à la compréhension de l'évolution temporelle des états quantiques de systèmes dynamiques chaotiques sur une longue période de temps. Les recherches du projet étant axées sur les mathématiques pures, l'impact immédiat du projet sera ressenti le plus directement par une communauté scientifique dédiée à la mécanique quantique. Indirectement pourtant, cette communauté jouant un rôle majeur dans les progrès et technologies scientifiques modernes, que ce soit les études météorologiques/climatiques ou l'ingénierie informatique, les avancées de ce projet permettront également de relever certains défis sociaux majeurs. À plus court terme comme l’explique le Dr. Sahlsten: «Les prochaines recherches devraient poursuivre dans cette direction et étudier les questions sur le chaos quantique que nous avons ouvertes grâce à cette percée majeure obtenue en collaboration avec notre collègue Etienne Le Masson. Nos travaux ont ouvert une nouvelle voie de recherche qui pourrait déboucher sur des avancées majeures et nous permettre de comprendre la théorie des grands réseaux ».

Mots‑clés

LDMRD, mathématiques, mécanique quantique, chaos, systèmes dynamiques, réseaux thermodynamiques, rigidité de mesure

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