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Geometry of Grassmannian Lagrangian manifolds and their submanifolds, with applications to nonlinear partial differential equations of physical interest

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Un examen géométrique des équations décrivant les phénomènes du monde réel

Le projet GEOGRAL, financé par l'UE, avait pour ambition de trouver une méthode géométrique permettant de caractériser une famille particulière d'équations aux dérivées partielles qui décrivent chaque phénomène du monde qui nous entoure.

Recherche fondamentale

La résolution d'une équation particulière peut ouvrir une multitude d'opportunités aux mathématiciens, scientifiques et ingénieurs, mais il faut souvent du temps pour que ces applications deviennent évidentes. Le projet GEOGRAL cible une famille particulière d'équations appelée équations aux dérivées partielles, ou EDP, qui peuvent servir à décrire de nombreux phénomènes. «Les équations aux dérivées partielles (EDP) sont les équations qui décrivent de manière quasiment illimitée tous les phénomènes de l'environnement dans lequel nous vivons», indique le professeur Janusz Grabowski de l'Institut de mathématiques de l'Académie des sciences polonaise. À titre d'exemple, l'équation Monge-Ampère décrit le problème économique d'affectation optimale des ressources, la fameuse équation d'Einstein prédisait la découverte des ondes gravitationnelles, et les équations décrivant le comportement des fluides servent de base aux méthodes modernes de prévision météorologique. «Une EDP parvient à formaliser en termes mathématiques le fait que le comportement présent d'un phénomène est dicté par son histoire», poursuit le professeur Grabowski. C'est ainsi qu'une de ces équations peut décrire la croissance d'une population de bactéries. Si la population initiale est constituée d'une seule bactérie, au bout d'une minute il y aura deux bactéries, au bout de 2 minutes il y en aura quatre, au bout de 3 minutes huit, etc., selon un schéma de croissance exponentielle. L'augmentation de la population dépend de la durée du processus de multiplication: au tout début, la population augmente de seulement quelques éléments, mais au bout d'une heure, il peut y avoir des milliards de bactéries. La caractérisation géométrique des EDP Le projet avait pour seul objectif de trouver une méthode géométrique permettant de caractériser cette famille d'EDP particulière. La géométrie est appliquée aux EDP depuis le début du vingtième siècle. L'établissement d'une méthodologie géométrique permettrait aux mathématiciens de distinguer cette famille particulière de toutes les autres EDP. Toutefois, les compétences requises pour parvenir à visualiser une EDP en tant qu'objet géométrique exigent de nombreuses années d'études. Il est essentiel de mener des recherches fondamentales dans ces domaines pour faire progresser la science, la recherche et l'ingénierie sur des bases mathématiques solides. La recherche d'EDP présentant certaines symétries Des recherches sont souvent nécessaires pour trouver les équations susceptibles de résoudre un phénomène donné. Pour cela, les chercheurs identifient certaines 'symétries' exprimées par le phénomène puis étudient une série d'EDP jusqu'à ce qu'ils en découvrent une qui exprime les mêmes symétries. L'équipe GEOGRAL a mis au point une procédure générale qui, à partir d'un groupe arbitraire de symétries, produit une EDP présentant exactement ces symétries. Le projet a également publié plusieurs articles détaillant des résultats dérivés. «Ces résultats apportent une confirmation solide que la géométrie peut être utilisée de manière efficace pour répondre aux questions relatives aux EDP», ajoute le professeur Grabowski. «Les résultats obtenus par le projet GEOGRAL sont à n'en pas douter une source d'inspiration pour les mathématiciens expérimentés et motivent ceux qui sortent de l'école à faire carrière dans les sciences.» Selon lui, à long terme, «on peut envisager qu'une meilleure compréhension géométrique des EDP pourrait aider à décrire des phénomènes physiques, peut-être, et c'est à espérer, en synergie avec les puissantes méthodes numériques déjà disponibles.»

Mots‑clés

GEOGRAL, géométrie, mathématiques, mathématiques pures, équations aux dérivées partielles, EDP

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