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Geometry of Grassmannian Lagrangian manifolds and their submanifolds, with applications to nonlinear partial differential equations of physical interest

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Phänomene unserer Welt beschreibende Gleichungen geometrisch untersuchen

Das EU-finanzierte GEOGRAL-Projekt suchte nach einem geometrischen Weg, um eine spezielle Familie partieller Differentialgleichungen zu beschreiben, die jedes einzelne Phänomen der von uns bewohnten Welt charakterisieren.

Grundlagenforschung

Die Lösung einer bestimmten Gleichung kann Fachleuten aus Mathematik, Wissenschaft und Ingenieurwesen eine Vielzahl von Möglichkeiten eröffnen, aber es geht oft viel Zeit ins Land, bis diese Anwendungen offensichtlich werden. GEOGRAL, ein von der EU finanziell gefördertes Projekt, konzentriert sich auf eine bestimmte Gleichungsfamilie mit der Bezeichnung partielle Differentialgleichungen, PDG, mit deren Hilfe viele auf der Welt zu beobachtende Erscheinungen beschrieben werden können. „Partielle Differentialgleichungen (PDG) sind die Gleichungen, mit denen sich praktisch jedes einzelne Phänomen der Welt, in der wir leben, beschreiben lässt“, erläutert Professor Janusz Grabowski vom Institute für Mathematik an der Polnischen Akademie der Wissenschaften. Zu diesen Phänomenen zählt, auf welche Weise das ökonomische Problem der optimalen Ressourcenzuteilung durch die sogenannte monge-ampèresche Gleichung beschrieben wird, wie die erst unlängst entdeckten Gravitationswellen durch die berühmte Einstein-Gleichung vorhergesagt wurden und wie moderne Wettervorhersage auf den Gleichungen basieren, die das Fluidverhalten beschreiben. „Eine PDG erlaubt die Formalisierung der Tatsache, dass das gegenwärtige Verhalten eines Phänomens von seiner Vergangenheit diktiert wird, in Form von mathematischen Begriffen“, fährt Professor Grabowski fort. Ein typisches Beispiel dafür ist, wie mit einer dieser Gleichungen das Wachstum einer Bakterienpopulation beschrieben werden kann. Besteht die ursprüngliche Population aus einem einzelnen Bakterium, dann werden es, dem Musters des exponentiellen Wachstums folgend, nach einer Minute zwei Bakterien, nach zwei Minuten vier, nach drei Minuten acht und so weiter sein. Das Wachstum der Population hängt davon ab, wie lange der Multiplikationsprozess bereits fortgeschritten ist: Zu Beginn wächst die Population nur um wenige Elemente an, aber nach einer Stunde könnten Milliarden von Bakterien existieren. Geometrische Charakterisierung partieller Differentialgleichungen Das einzigartige Forschungsziel des Projekts war die Suche nach einem geometrischen Weg zur Charakterisierung dieser speziellen PDG-Familie. Seit Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts gibt es eine lange Tradition der Anwendung von Geometrie auf PDG. Die Einführung einer geometrischen Methodik könnte die Mathematiker in die Lage versetzen, diese spezielle Familie von allen anderen PDG zu unterscheiden. Die zur Visualisierung einer PDG als geometrisches Objekt nötigen Fertigkeiten erfordern jedoch jahrelanges Studieren. So ist auf derartigen Gebieten Grundlagenforschung unerlässlich, um zu gewährleisten, dass Wissenschaft, Forschung und Technik auf der Grundlage starker mathematischer Grundlagen voranschreiten können. Suche nach partiellen Differentialgleichungen mit bestimmten Symmetrien Forscherinnen und Forscher müssen oft nach den Gleichungen suchen, die möglicherweise ein bestimmtes Phänomen lösen könnten. Sie tun das, indem sie bestimmte „Symmetrien“ ermitteln, die das Phänomen aufweist, und dann eine Serie von PDG untersuchen, bis sie eine entdecken, welche dieselben Symmetrien zeigt. Dem Team von GEOGRAL gelang die erfolgreiche Ausarbeitung einer allgemeinen Prozedur, die ausgehend von einer willkürlichen Gruppe von Symmetrien eine PDG mit exakt diesen Symmetrien erzeugt. Das Projekt veröffentlichte außerdem mehrere wissenschaftliche Arbeiten, in denen die Spin-off-Resultate detailliert beschrieben wurden. „Diese Ergebnisse stellen eine starke Bestätigung dafür dar, dass Geometrie mit Erfolg zur Beantwortung von Fragen im Zusammenhang mit PDG herangezogen werden kann“, bekräftigt Grabowski. „Die von GEOGRAL erzielten Resultate sind sicherlich eine Quelle der Inspiration für die Arbeit erfahrene Mathematiker sowie für die Motivation junger Menschen, die sich fragen, ob sie eine Karriere in der Wissenschaft anstreben sollten.“ Über einen langen Zeitraum betrachtet, „könnte man spekulieren, dass ein tieferes geometrisches Verständnis von PDG im Endeffekt, möglicherweise und hoffentlich in Synergie mit den existierenden soliden numerischen Methoden, hilfreich bei der Beschreibung physikalisch relevanter Phänomene sein könnte.“

Schlüsselbegriffe

GEOGRAL, Geometrie, Mathematik, reine Mathematik, partielle Differentialgleichungen, PDG, PDGL

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