Description du projet
Des outils mathématiques modernes pourraient contribuer à résoudre les principaux problèmes géométriques des catégories dérivées
Les variétés sont les objets centraux de l’étude de la géométrie algébrique. Leurs propriétés géométriques sont encodées dans des objets algébriques: les catégories dérivées. Inspiré par la théorie des cordes, Bridgeland a introduit la notion de conditions de stabilité pour les catégories dérivées. Des travaux récents ont révélé que la déformation des conditions de stabilité et la stabilité variable d’un objet (phénomène de traversée de mur) sont des techniques puissantes pour la résolution de problèmes géométriques de longue date qui n’impliquent pas de catégories dérivées. L’objectif principal du projet SCGA financé par l’UE est de s’appuyer sur des idées et des outils en algèbre, en géométrie et en physique mathématique pour décrire des problèmes géométriques insolubles en termes de catégories dérivées et de conditions de stabilité, puis d’appliquer des techniques de franchissement de mur pour les résoudre.
Objectif
Geometry studies higher-dimensional curved spaces. We can describe these spaces by equations, but the only case where we have any hope to use them for calculation is when the equations are polynomials. The resulting spaces are the objects of algebraic geometry, which are called varieties. Although these objects have been studied for a long time, there are still lots of crucial open problems: If we are given a variety, can we embed it in other well-known varieties? For instance, can we find a ''nice'' surface which contains a given curve? If yes, how many such surfaces exist, and can we characterise them via some of the geometrical properties of the curve?
The geometric information of varieties can be encoded in algebraic objects, known as derived categories. Inspired by ideas in string theory, Bridgeland introduced the notion of stability conditions on derived categories. This topic has been highly studied due to its connections to various fields in mathematics and physics, and lots of ideas and techniques have been developed in the area.
Now is the time to employ the whole spectrum of modern tools in derived categories and stability conditions to solve so far intractable geometrical problems. My recent work proves that deformation of stability conditions and varying stability status of an object (wall-crossing phenomenon) are powerful new techniques for solving long-standing geometrical problems, that do not appear to involve derived categories. Surprisingly, stability conditions and wall-crossing truly provide the right context for studying those problems.
The main goal of this research programme is to draw upon ideas and tools in algebra, geometry and mathematical physics to describe some outstanding geometrical problems in terms of derived categories and stability conditions, and then apply wall-crossing techniques to solve those problems.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Mots‑clés
Programme(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) H2020-MSCA-IF-2019
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MSCA-IF - Marie Skłodowska-Curie Individual Fellowships (IF)Coordinateur
91190 Gif-Sur-Yvette
France