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Low-dimensional and Non-autonomous Dynamics

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De nouvelles informations sur les systèmes dynamiques non autonomes

Les systèmes dynamiques complexes allant du changement climatique aux marchés financiers peuvent avoir des «points de bascule», appelés bifurcations catastrophiques, où un changement soudain d'une condition peut entraîner la perte d'équilibre du système. Des études détaillées sur les points proches de la bifurcation peuvent aider à contrôler les propriétés des bifurcations et maîtriser le comportement dynamique du système dans le sens désiré.

Recherche fondamentale

Modélisant une variété incroyable de comportements tels que le mouvement des planètes dans le système solaire ou la propagation d'une maladie au sein d'une population, les systèmes dynamiques sont couramment utilisés pour l'analyse des systèmes dans une large gamme de domaines scientifiques. Jusqu'à maintenant, plusieurs bifurcations locales (notamment les bifurcations col-nœud, transcritique, de fourche, de dédoublement de période et de Hopf) ont été étudiées en physique, biologie, ingénierie, écologie et économie. Malgré les progrès dans le domaine, une meilleure compréhension des bifurcations dans les systèmes dynamiques non-autonomes reste nécessaire. Le projet LDNAD (Low-dimensional and non-autonomous dynamics), financé par l'UE, a été lancé pour fournir de nouvelles informations et des outils pour compléter l'étude de la théorie des bifurcations non autonomes, en particulier les contreparties non autonomes du modèle de bifurcation classique des systèmes dynamiques. La recherche sur les bifurcations de Hopf non autonomes s'est concentrée sur un problème ancien dans le domaine concernant le modèle habituel de bifurcation de Hopf qui donne lieu au scénario en deux étapes pour la bifurcation de Hopf non autonome proposée par Ludwig Arnold. Les chercheurs ont décrit ce scénario soit par des modèles forcés de manière déterministe, qui peuvent être traités comme des systèmes de sous-produits continus sur un espace produit compact, soit par des systèmes forcés de manière aléatoire qui aboutissent à des sous-produits sur une transformation de base préservant les mesures. Dans ce scénario, le forçage externe peut aboutir à une séparation des valeurs propres complexes conjuguées, donnant lieu au scénario de bifurcation à deux étapes, dans lequel un «tore» invariant se sépare d'une variété centrale stable. Les chercheurs ont prouvé que ce tore consiste en un cercle topologique dans chaque fibre. L'équipe de projet a également observé des progrès significatifs sur des questions liées à la théorie ergodique. Prenant en compte le fait que l'ordre lexicographique induit un ordre partiel (appelé dominance stochastique d'ordre 1) sur la collecte de ses mesures de probabilité invariantes de l'opérateur de décalage, les chercheurs ont étudié la structure fine de cet ordre de dominance et prouvé que les mesures de propriétés d'invariance des mots sturmiens sont totalement ordonnées en fonction de cet ordre. Le projet LDNAD a cherché à améliorer les connaissances sur les bifurcations dans les systèmes dynamiques non autonomes, notamment l'impact des modifications qui surviennent dans la structure des systèmes dynamiques lorsque les paramètres sont variés.

Mots‑clés

Systèmes dynamiques, dynamique non autonome, LDNAD, théorie des bifurcations, théorie ergodique

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