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"Dynamics, Spectral Theory, and Arithmetic in Quantum Chaos"

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De nouvelles recherches sur l’unique ergodicité quantique

Grâce à une enveloppe européenne, des chercheurs ont étudié le rapport entre le spectre et les fonctions propres du laplacien sur les surfaces hyperboliques ainsi que la géométrie et la dynamique des flux géodésique sur la surface dans le cadre de l’unique ergodicité quantique (UEQ).

Recherche fondamentale

L’UEQ trouve son origine dans un domaine physique connu sous le nom de « chaos quantique ». Elle vise à établir le lien entre la physique classique et la physique quantique. Selon l’ergodicité quantique, à la limite de haute énergie, la répartition des probabilités associées aux états énergétiques propres d’un opérateur hamiltonien ergodique quantique tend vers une distribution uniforme dans l’espace de phase classique. Le projet DSTAQC a permis d'importants progrès en ce qui concerne le lien entre les failles de l’UEQ et les dégénérescences spectrales. Dans un article récent, l’équipe de chercheurs a montré que les quasi-modes pouvaient concentrer la masse positive sur n’importe quelle géodésique fermée, jusqu’à la limite UEQ conjecturée. Il s’agit là d'un résultat important puisqu’il prouve que l’UEQ peut présenter des failles en présence de quasi-modes suffisamment faibles et favoriser la mesure de longueur sur une géodésique fermée. Le rapport entre les dégénérescences et l’UEQ a été renforcé, ce qui montre bien le lien entre l’UEQ et la propagation sur une longue échelle de temps logarithmique, qui correspond exactement à l’échelle pour laquelle le seuil de quasi-mode conjecturé apparaît. Les chercheurs ont montré que la version de l’UEQ pour les quasi-modes d’Eisenstein persiste pour le seuil logarithmique conjecturé (du moins pour le premier ordre) en raison de concepts arithmétiques révélés lors des premiers travaux sur les quasi-modes du laplacien et des facteurs de Hecke. DSTAQC a également montré que les approximations de deuxième ordre comprennent l’amélioration de la géodésique en présence de cusp, qui correspond aux failles de l’UEQ pour les quasi-modes logarithmiques. L'étude a également porté sur l’interaction entre l’UEQ sur la sphère ronde et la dynamique de symétrie intégrée, dont la correspondance de Hecke. Les chercheurs ont montré que pour chaque espace des harmoniques sphériques des valeurs propres élevées, l’hypothèse d’ergodicité quantique est validée par les fonctions propres d’un opérateur moyen sur un ensemble fini de rotations. Ces opérateurs moyens ne doivent pas être arithmétiques, mais ils montrent l’influence de nouvelles symétries sur la base des fonctions propres. Les travaux en cours visent à comprendre les normes L^p des fonctions propres sur les graphiques. DSTAQC a réussi à élucider le rapport entre les dégénérescences spectrales et l’UEQ, mais aussi ses extensions et restrictions dans d’autres domaines. L'influence de ces travaux est évidente au vu des nombreux articles parus s’appuyant sur les recherches.

Mots‑clés

Unique ergodicité quantique, surfaces hyperboliques, chaos quantique, DSTAQC, quasi-mode

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