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Mathématiques et informatique: une collaboration logique

Une initiative financée par l’UE a fait des progrès considérables en combinant des travaux et des collaborations portant sur deux théories mathématiques considérées auparavant comme distinctes afin de relever des défis importants dans la théorie de la complexité. Ces recherches ont été menées avec le soutien du programme Marie Curie.

Recherche fondamentale

L’objectif général de ce domaine de recherche consiste à comprendre à quel point il est «difficile» de trouver une solution algorithmique à un problème de calcul. Toutefois, pour répondre à cette question, il faut d’abord décider de ce qui constitue une bonne mesure de la «difficulté». Par exemple, est-ce lié au temps nécessaire à un ordinateur personnel standard pour résoudre le problème ou à la quantité d’espace mémoire requise? Ou s’agit-il d’une combinaison des deux? Cette méthode générale consistant à décrire la difficulté d’un problème par le biais de la logique est appelée complexité descriptive. «Dans le cadre du projet DFLOW, nous avons étudié un certain nombre de systèmes logiques spécifiques, connus sous le nom de logiques sur les mots finis et infinis», explique le Dr Sam van Gool, chercheur du projet. Le terme «mots», fait-il remarquer, fait référence à des données avec une structure linéaire unidimensionnelle, pouvant être lues de gauche à droite, par opposition, par exemple, aux données structurées en arborescence. Il explique que s’il est vrai que l’étude de ces systèmes logiques n’est pas un domaine nouveau, «la principale nouveauté de DFLOW a consisté à combiner deux théories mathématiques différentes, et auparavant distinctes, afin de relever les principaux défis de ce domaine de recherche». DFLOW avait pour ambition d’appliquer cette idée récente consistant à combiner ces théories – la théorie des semi-groupes et la dualité de Stone – à une classe spécifique de systèmes logiques. Des collaborations entre experts Après avoir étudié la théorie mathématique de la dualité de Stone, M. van Gool a souhaité utiliser ce projet pour approfondir ses connaissances sur la théorie des semi-groupes et son utilisation pour les études logiques. Cela a été réalisé grâce à des collaborations de recherche avec le professeur Benjamin Steinberg du City College of New York et le professeur Yde Venema de l’Université d’Amsterdam. Le projet a également permis de favoriser le développement d’autres collaborations de recherche d’importance. Le chercheur indique en particulier que «le projet a contribué à faire avancer les travaux en collaboration avec le professeur Silvio Ghilardi (Université de Milan) sur les systèmes logiques et sur un autre sujet mathématique appelé théorie des modèles.» En conséquence, les principaux résultats du projet, d’une durée de trois ans, comprennent neuf articles de recherche du Dr van Gool. Quatre d’entre eux ont été co-écrits avec le professeur Steinberg. Un autre article de recherche en collaboration avec le professeur Venema est toujours en préparation, ainsi que deux articles avec le professeur Steinberg. Compte tenu de la nature transversale du projet, un soin particulier a été apporté à la diffusion des résultats de recherche, aussi bien dans le contexte mathématique qu’informatique. Le chercheur du projet indique que la publication la plus prestigieuse du côté mathématique est celle qui a été co-écrite avec le professeur Steinberg et publiée dans Advances in Mathematics. Sur le plan informatique, il s’agit selon lui de la publication du Symposium sur la logique en informatique (LICS 2016) avec le professeur Ghilardi. Faire la jonction entre les deux disciplines Quand on lui a demandé quelle était la plus grande réussite du projet, le Dr van Gool a mis en avant «la création d’une nouvelle collaboration entre experts des domaines de la théorie des semi-groupes et de la dualité de Stone appliqués à la logique». C’est une étape importante, car il n’existait auparavant que peu d’interactions entre ces deux domaines. Le Dr van Gool va se servir des réalisations du projet. Il prévoit d’étendre certaines méthodes à des structures de données plus complexes, notamment les arbres. Un autre axe de recherche envisagé concerne des développements très récents dans des systèmes logiques liés à ceux qui sont traités dans le cadre de DFLOW.

Mots‑clés

DFLOW, systèmes logiques, informatique, mathématiques, théories mathématiques, théorie des semi-groupes, dualité de Stone, théorie de la complexité

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