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Hamiltonian Actions and Their Singularities

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Fortschritte bei der mathematischen Beschreibung der Bewegung

Von EU-finanzierten Forschern durchgeführte komplexe mathematische Untersuchungen von Problemen, die für die klassische Mechanik und die Quantenmechanik relevant sind, haben Einblicke in Bezug auf Instabilitäten dynamischer Systeme ergeben. Diese sind für Beschreibungen verschiedener Phänomene wie zum Beispiel der planetaren und stellaren Evolution wichtig.

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Die wohlbekannte euklidischen Geometrie wird zur Messung eindimensionaler (1D) Größen wie Länge oder Winkel verwendet. Mit Hilfe der symplektischen Geometrie beschreibt man geradzahlig dimensionale (z. B. 2D, 4D und 6D) Objekte. Das Konzept der symplektischen Struktur entstand beim Studium der klassischen mechanischen Systeme wie etwa der die Sonne umkreisenden Planeten, schwingender Pendel und Newtons vom Baum fallenden Apfels. Kennt man nur zwei Informationen - Position und Geschwindigkeit (oder genauer gesagt, das Moment) - dann ist die Flugbahn eines solchen Systems genau definiert. Die Quantenphysik und die Heisenbergs Unschärferelation führten zu einer Veränderung der Mathematik. Dem oben genannten Beispiel zufolge konnte ein Teilchen nicht länger als einen einzigen Punkt einnehmend, sondern musste als in einem Gebiet des Raumes liegend betrachtet werden, das durch zwei Positionskoordinaten und zwei Geschwindigkeitskoordinaten (vier Dimensionen) definiert wird. Die kontinuierliche Weiterentwicklung mathematischer Theorien zog die Verwendung sogenannter Lie-Gruppen zur Untersuchung von Symmetrien geometrischer Strukturen nach sich, da sie die "Reduzierung" des untersuchten geometrischen Raums (der Dimension) zu einem viel kleineren ermöglichte, ohne dabei Präzision und Klarheit einzubüßen. Die Beobachtung mathematischer Singularitäten oder von Punkten, an denen ein gegebenes mathematisches Objekt undefiniert ist oder sich nicht mathematisch "brav" benimmt, resultierte jedoch in erheblichen Auswirkungen auf die dynamische Stabilität mechanischer Systeme sowie in der Instabilität mathematischer Lösungen. Die komplexe Mathematik, mit deren Hilfe mechanische und dynamische Systeme definiert werden, bildeten den Mittelpunkt des Hamacsis-Projekts ("Hamiltonian actions and their singularities"). Hier setzte man voraus, dass die Hamilton-Gleichungen einen Weg schaffen, um die klassischen Mechanik mit der Quantenmechanik zu verbinden. Unter den vielen im Rahmen von Hamacsis gewonnen Einsichten befand sich die umfassende Untersuchung sogenannter Kotangens-Vektorbündel, die wichtige Beschreibungen von deren reduzierten Räumen in den Fällen symmetrischer Aktionen und Singularitäten lieferten. Überdies konnten die Forscher explizit beweisen, wie Singularitäten symmetrischer Aktionen bei verschiedenen Typen mechanischer und dynamischer Systeme die Stabilitätseigenschaften beeinflussen. Dies ist auf physikalisch beobachtete konstante Bewegungen anwendbar, wie sie bei gleichmäßig rotierenden Körpern sowie der planetaren und stellaren Evolution auftreten. Die vom Hamacsis-Projekt betriebene komplexe und innovative Mathematik mündete in zahlreiche Publikationen in von Experten begutachteten wissenschaftlichen Fachzeitschriften. Die Ergebnisse tragen deutlich zur Verbesserung des Wissens über die klassische Mechanik und die Quantenmechanik im Zusammenhang mit der Bewegung komplexer dynamischer Systeme bei.

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