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Hamiltonian Actions and Their Singularities

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Des avancées dans la description mathématique du mouvement

L'étude mathématique complexe des problèmes relatifs à la mécanique classique et quantique effectuée par des chercheurs financés par l'UE a donné une idée des instabilités des systèmes dynamiques. Ceci est important pour décrire les divers phénomènes, y compris les processus d'évolution stellaire et planétaire.

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La géométrie euclidienne est couramment utilisée pour mesurer des quantités unidimensionnelles (1D) telles que la longueur ou l'angle. La géométrie symplectique sert à décrire des objets de mêmes dimensions (2D, 4D et 6D, par exemple). Le concept de structure symplectique est issu de l'étude des systèmes mécaniques classiques tels que les planètes gravitant autour du soleil, les systèmes oscillants et l'histoire de la pomme de Newton. La trajectoire de ces systèmes est bien définie si l'on possède les notions de base, la position et la vitesse (ou, plus précisément, l'élan). La physique quantique et le principe d'incertitude de Heisenberg ont conduit à une modification des mathématiques. D'après l'exemple ci-dessus, une particule ne pourrait plus être considérée comme occupant un point unique mais plutôt comme reposant dans une région de l'espace, définie par deux coordonnées de positionnement et deux coordonnées de vitesse (quatre dimensions). L'évolution permanente des théories mathématiques a mené à l'utilisation de ce qu'on appelle des groupes de Lie pour étudier les symétries des structures géométriques car cela permettait de «réduire» l'espace géométrique (dimension) examiné à une taille beaucoup plus petite sans nuire à la précision et la clarté. Toutefois, l'observation de singularités mathématiques, ou de points au niveau desquels un objet mathématique donné est non défini ou ne s'est pas mathématiquement «bien comporté», a entraîné des effets importants sur la stabilité dynamique des systèmes mécaniques et sur l'instabilité des solutions mathématiques. Les mathématiques complexes définissant les systèmes mécaniques et dynamiques étaient au centre du projet Hamacsis («Hamiltonian actions and their singularities»), étant donné que les équations hamiltoniennes fournissent un moyen de relier la mécanique classique à la mécanique quantique. Parmi les nombreuses idées dégagées du projet Hamacsis, un examen approfondi de ce qu'on appelle des paquets de vecteurs cotangents a permis d'obtenir des descriptions d'un grand intérêt de leurs espaces réduits dans les cas d'actions symétriques et de singularités. Par ailleurs, les chercheurs ont explicitement montré la façon dont les singularités des actions symétriques dans plusieurs types de systèmes mécaniques et dynamiques affectent les propriétés de stabilité. Ceci est applicable aux mouvements réguliers observés physiquement, tels que ceux dans les corps tournant de manière uniforme et les processus d'évolution stellaire et planétaire. Les mathématiques complexes et innovantes à la base du projet Hamacsis ont entraîné de nombreuses publications dans des revues scientifiques. Les résultats améliorent considérablement notre compréhension de la mécanique classique et quantique liée au mouvement des systèmes dynamiques complexes._

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