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Hilbert Modular Forms and Diophantine Applications

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Avances en temas especiales de la teoría de los números

Un proyecto financiado por la Unión Europea ha servido para desarrollar nuevas herramientas analíticas para soluciones de computación aplicables a ecuaciones matemáticas complejas. Estos desarrollos permitirán resolver problemas de la teoría de números pendientes desde hace mucho tiempo y proporcionan un nuevo módulo importante para software disponible comercialmente.

Economía digital

Una de las ecuaciones más sorprendentemente simples, en cuanto a las matemáticas se refiere, permaneció abierta a debate durante más de 350 años, a pesar de tratarse del teorema con la mayor cantidad de pruebas erróneas no publicadas jamás enunciado. El último teorema de Fermat, postulado en el siglo XVII, afirma que la ecuación x^n + y^n = z^n no tiene ninguna solución entera distinta de cero para x, y, y z si n es un entero mayor que 2 (cuando n=2, la ecuación equivale al conocido teorema de Pitágoras). En 1994, finalmente Andrew Wiles probó el teorema, lo cual abrió la vía para avances en numerosos campos relacionados de las matemáticas, en particular dentro de la teoría de números. Los investigadores europeos pretendían ampliar el trabajo realizado por Wiles y otros en el terreno de las formas automórfica y las formas modulares de Hilbert mediante el proyecto HMF («Formas modulares de Hilbert y aplicaciones diofánticas»). Las formas automórficas son uno de los temas más complejos de la teoría de números y presentan una gama de posibles aplicaciones bastante amplia, además del uso que hizo Wiles de ellas para probar el último teorema de Fermat. Están intrínsecamente relacionadas con los números primos, que se han utilizado recientemente como base de las transacciones seguras por Internet. Es más, uno de los métodos más importantes de generación de formas automórficas también es un elemento fundamental de la mecánica cuántica. Las formas modulares son un caso especial de formas automórficas. Son funciones altamente simétricas del conjunto de las curvas elípticas. Las formas modulares de Hilbert tienen numerosas aplicaciones en las llamadas ecuaciones diofánticas, ecuaciones polinómicas indeterminadas en las cuales las variables sólo pueden ser enteros (esto incluye la ecuación de Fermat). Teniendo en cuenta que la resolución de muchos problemas diofánticos requiere el conocimiento explícito de formas modulares de Hilbert y automórficas más complicadas, los investigadores de HMF desarrollaron algoritmos robustos para calcular formas modulares de Hilbert que se incorporaron en el sistema MAGMA de software para álgebra computacional. Así, el proyecto contribuyó a de resolver una conjetura matemática muy antigua y aportó evidencias importantes en relación con otras. Los resultados del proyecto HMF avanzaron en el campo de las formas automórficas y contribuyeron con algoritmos importantes a un programa de software computacional comercial bien conocido. Es de esperar que este trabajo tenga numerosas aplicaciones tanto en la investigación básica en matemáticas como en la investigación aplicada en la teoría de los números.

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