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Hilbert Modular Forms and Diophantine Applications

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Fortschritte für Spezialthemen der Zahlentheorie

Ein EU-finanziertes Projekt entwickelte neue Werkzeuge zur Analyse, Berechnung und Lösung komplexer mathematischer Gleichungen. Die Entwicklungen ermöglichen die Lösung seit langem anstehender Probleme der Zahlentheorie und liefern ein wichtiges neues Modul für kommerzielle Software.

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Erstaunlicherweise, und obwohl zu keiner Theorie weniger Gegenbeweise veröffentlicht wurden, wird eine der einfachsten Gleichungen aus der Mathematik seit über 350 Jahren debattiert. Fermats letzter Satz, aufgestellt in den 1600er Jahren, besagt für die Gleichung xn + yn = zn, mit n als ganzer Zahl größer als 2, dass x, y und z keine ganzen Zahlen ungleich Null sein können (die Gleichung für n = 2 lieferte der bekannte Satz des Pythagoras). Als Andrew Wiles den Satz schließlich im Jahr 1994 bewies, bedeutete dies Fortschritte in vielen verwandten Gebieten der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie. Europäische Forscher des Projekts "Hilbert modular forms and Diophantine applications" (HMF) versuchten die Arbeit von Wiles und anderen in die Welt der automorphen Formen und Hilbertschen Modulformen zu übertragen. Obwohl eines der komplexesten Themen der Zahlentheorie, finden automorphe Formen breite Anwendung, nicht nur durch Wiles als Beweis für Fermats letzten Satz. Sie stehen in untrennbarem Zusammenhang mit den Primzahlen, welche neuerdings die Grundlage für sichere Transaktionen über das Internet liefern. Eine der wichtigsten Methoden zur Konstruktion automorpher Formen liefert außerdem eine Grundlage für die Quantenmechanik. Modulformen stellen einen Sonderfall der automorphen Formen dar. Sie liefern hochgradig symmetrische Funktionen für alle elliptischen Kurven. Hilbertsche Modulformen werden oft für sogenannte diophantische Gleichungen genutzt, also unbestimmten Polynomgleichungen (einschließlich der Fermat-Gleichung), deren Variable nur ganze Zahlen sein können. Da die Lösung vieler diophantischer Probleme ein Verständnis der schwierigen Hilbertschen Modulformen und automorphen Formen zwingend voraussetzt, entwickelten Forscher des HMF zur Berechnung Hilbertscher Modulformen robuste Algorithmen, die in das Computer-Algebra-Softwaresystem MAGMA aufgenommen wurden. Die Projektarbeit trug damit zur Beantwortung einer zentralen mathematischen Frage bei, die seit langem offen war, und lieferte Beweise zur Lösung von weiteren. Das HMF-Projekt lieferte neue Ergebnisse zur Erforschung automorpher Formen sowie wichtige Algorithmen für ein kommerziell etabliertes Computersoftware-Programm. Die Arbeit dürfte umfangreiche Anwendung finden, sowohl in der mathematischen Grundlagenforschung als auch der angewandten Erforschung der Zahlentheorie.

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