Postępy w zakresie zagadnień specjalnych teorii liczb
Jedno z najbardziej zaskakująco prostych równań matematycznych pozostawało przedmiotem dyskusji przez ponad 350 lat, mimo że jest twierdzeniem z największą liczbą nieopublikowanych fałszywych dowodów w historii. Ostatnie twierdzenie Fermata, postulowane w XVII w., mówi, że równanie xn + yn = zn nie ma niezerowych rozwiązań całkowitych dla x, y i z, jeśli n jest liczbą całkowitą większą niż 2 (gdy n=2, równanie to jest bardzo dobrze znanym twierdzeniem Pitagorasa). Andrew Wiles ostatecznie udowodnił twierdzenie w 1994 r., otwierając drogę dla postępu w wielu powiązanych dziedzinach matematyki, a w szczególności teorii liczb. Europejscy naukowcy starali się rozszerzyć pracę Wilesa i innych na sferę form automorficznych oraz form modularnych Hilberta w ramach projektu "Formy modularne Hilberta i zastosowania diofantyczne" (HMF). Formy automorficzne to jedno z najbardziej złożonych zagadnień teorii liczb. Mają one dość szerokie zastosowanie, pomijając ich wykorzystanie przez Wilesa do udowodnienia ostatniego twierdzenie Fermata. Są one nierozerwalnie związane z liczbami pierwszymi, które ostatnio posłużyły za podstawę bezpiecznych transakcji w Internecie. Ponadto, jedna z najważniejszych metod konstruowania form automorficznych stanowi także fundament mechaniki kwantowej. Formy modularne to szczególny przypadek form automorficznych. Są to wysoce symetryczne funkcje na zbiorze krzywych eliptycznych. Modularne formy Hilberta mają liczne zastosowania w tzw. równaniach diofantycznych — nieoznaczonych równaniach wielomianowych, w których zmienne mogą być tylko liczbami całkowitymi (w tym równanie Fermata). Biorąc pod uwagę fakt, że rozwiązanie wielu problemów diofantycznych wymaga precyzyjnego zrozumienia znacznie trudniejszych form modularnych Hilberta oraz form automorficznych, naukowcy projektu HMF opracowali solidne algorytmy do obliczania form modularnych Hilberta, które zostały włączone do systemu oprogramowania obliczeń algebraicznych MAGMA. Prace projektowe przyczyniły się tym samym do wyjaśnienia kluczowego wieloletniego przypuszczenia matematycznego oraz zapewniły istotne dowody w odniesieniu do innych problemów. Wyniki projektu HMF przyczyniły się do postępu w dziedzinie form automorficznych oraz do powstania ważnych algorytmów na potrzeby uznanego na rynku oprogramowania obliczeniowego. Można oczekiwać, że wyniki te znajdą wiele zastosowań zarówno w zakresie podstawowych badań matematycznych, jak i w badaniach stosowanych na polu teorii liczb.