Une théorie universelle des groupes partiellement commutatifs
Dans les groupes partiellement commutatifs, le résultat de l'application de l'opération du groupe à deux éléments ne dépendant pas de l'ordre dans lequel ils sont écrits. Également appelés groupes Artin à angle droit, ces groupes abéliens généralisent l'addition arithmétique des nombres entiers. Les groupes abéliens sont largement étudiés en raison de leur définition simple mais de leur structure riche intrinsèque et leur aspect dans plusieurs branches dans et au-delà des mathématiques. Pour les explorer, les mathématiciens ont étudié différentes notions pour les réduire en pièces plus petites et mieux compréhensibles. Dans le projet financé par l'UE LIMITGROUPS (Limit groups over partially commutative groups), les mathématiciens ont étudié les groupes considérés comme des sous-groupes de groupes partiellement commutatifs. En outre, ils ont également exploré un groupe partiellement commutatif intégré dans un autre. Plus précisément, les mathématiciens ont étudié quand deux groupes partiellement commutatifs sont équivalents de manière universelle en matière de faculté d'absorption. Cette analyse leur a permis de réduire un problème logique en un problème algébrique. Les résultats les ont dotés de nouveaux outils pour ce faire. Comme outil rhétorique pour déterminer quand un groupe partiellement commutatif est un sous-groupe d'un autre, le graphique d'extension s'est révélé insuffisant. Les mathématiciens ont ensuite proposé un algorithme capable de décider s'il existe ou non une intégration pour de tels graphiques. Les conditions dans lesquelles le problème d'intégration est décidable ont également été définies. L'étude de la faculté d'absorption a permis de mieux comprendre la géométrie des groupes partiellement commutatifs. Une nouvelle connexion a été établie entre la faculté d'absorption et la classification quasi-isométrique des groupes importante pour la théorie de groupe géométrique. Le projet LIMITGROUPS est à la croisée de différentes branches des mathématiques. Outre le fait de fournir des liens inattendus entre différentes disciplines, les résultats ont ouvert de nouvelles directions de recherché dans chaque domaine.
Mots‑clés
Groupes partiellement commutatifs, mathématiques, informatique, faculté d'absorption, groupes abéliens
