Sistemas de tipo hidrodinámico de ecuaciones en el espacio-tiempo 2+1
Los sistemas de tipo hidrodinámico son sistemas de ecuaciones diferenciales parciales casi lineales de primer orden. Este tipo de ecuaciones surge de forma natural en el estudio de la dinámica de gases, la hidrodinámica, la cinética química, la geometría diferencial y la teoría de campos topológicos, entre otros campos. Por otra parte, por lo general, las ecuaciones de solitones, como las ecuaciones de Shrödinger no lineales, son ecuaciones diferenciales parciales no lineales que incluyen términos de dispersión (es decir, que no son de tipo hidrodinámico). Sin embargo, la aplicación del promediado de Witham a ecuaciones diferenciales parciales no lineales da lugar a un sistema de ecuaciones de tipo hidrodinámico. El grupo de científicos financiado por la Unión Europea consideró ecuaciones que se parecen a una ecuación de Riemann matricial en el marco del cálculo bidiferencial. En el contexto del proyecto HYDRON (Near hydrodynamic type systems in 2 +1 dimensions), la elección de distintos cálculos bidiferenciales de primer orden dan lugar a distintas ecuaciones. Entre las ecuaciones integrables más destacadas que se obtienen se encuentran las ecuaciones de Schrödinger no lineales con 2+1 dimensiones. Para todas las ecuaciones, una transformación binaria dio lugar a cálculo bidiferencial, especializado para generar soluciones de las ecuaciones de Riemann asociadas. Además, a partir de las versiones matriciales de las ecuaciones de Riemann asociadas con una ecuación integrable se podían generar soluciones de tipo multisolitón. Esto incluye soluciones de tipo multisolitón de las ecuaciones de Schrödinger no lineales (2+1) y Yang-Mills autoduales. Las ecuaciones de Yang-Mills autoduales surgen de la teoría de la relatividad general clásica y de campos de gauge. El equipo de HYDRON también estudió las ecuaciones llamadas de Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. En física, estas ecuaciones expresan restricciones de asociatividad de ciertas álgebras relacionadas con teorías de campos topológicos. Desde un punto de vista matemático, estas ecuaciones forman un sistema cuasilineal. En otras palabras, un sistema de tipo hidrodinámico. A la vez, tienen muchas características de una ecuación de solitones. En particular, sus soluciones no «estallan» en un tiempo finito. Dentro de HYDRON se encontró una explicación sobre esta característica, porque es posible construir este tipo de sistema hidrodinámico equivalente a la ecuación de Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. La teoría de los sistemas de tipo hidrodinámico es rica e influyente en las matemáticas aplicadas y la física matemática modernas. Los científicos de HYDRON han realizado una aportación importante en un terreno relativamente inexplorado: el espacio-tiempo 2+1.
Palabras clave
Sistemas de tipo hidrodinámico, ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones de solitones, HYDRON
