Sistemi idrodinamici di equazioni in spazio-tempo 2+1
I sistemi idrodinamici sono sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali quasi-lineari del primo ordine. Questo tipo di equazione si presenta naturalmente, ad esempio, nello studio della dinamica dei gas, nell’idrodinamica, nella cinetica chimica, nella geometria differenziale e nella teoria del campo topologico. D’altra parte, le equazioni solitoniche, come le equazioni di Schrödinger non lineari, sono tipicamente equazioni differenziali parziali non lineari che includono termini dispersivi (cioè, non sono di tipo idrodinamico). Applicando la media di Witham alle equazioni differenziali parziali non lineari, tuttavia, si ottiene un sistema di equazioni di tipo idrodinamico. Gli scienziati finanziati dall’UE hanno considerato equazioni simili all’equazione di Riemann della matrice nella struttura di calcolo bidifferenziale. Nell’ambito del progetto HYDRON (Near hydrodynamic type systems in 2 +1 dimensions), diverse scelte di calcolo bidifferenziale del primo ordine hanno portato a una serie di equazioni. Le equazioni di Schrödinger non lineari nelle dimensioni 2+1 sono tra le equazioni integrabili più importanti ottenute. Per tutte le equazioni, una trasformazione binaria risultante nel calcolo bidifferenziale ha generato le soluzioni delle equazioni di Riemann associate. Inoltre, dalle versioni della matrice delle equazioni di Riemann associate a un’equazione integrabile, è possibile generare soluzioni multi-solitoniche, tra cui equazioni di Schrödinger non lineari (2+1) ed equazioni di Yang-Mills auto-duali. Le equazioni di Yang-Mills auto-duali sono presenti nella teoria della relatività generale classica e nella teoria di gauge. Il team HYDRON ha esaminato anche le cosiddette equazioni Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. In fisica, queste equazioni esprimono i vincoli di associatività di alcune algebre relative alle teorie del campo topologico. Da un punto di vista matematico, queste equazioni formano un sistema quasi-lineare, ovvero un sistema idrodinamico. Allo stesso tempo, hanno molte caratteristiche di un’equazione solitonica. In particolare, le loro soluzioni non sono limitate a un tempo finito. Questa caratteristica ha trovato una spiegazione nell’ambito del progetto HYDRON poiché è possibile creare un sistema idrodinamico equivalente all’equazione Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. La teoria dei sistemi idrodinamici è molto influente nella matematica applicata moderna e nella fisica matematica. Gli scienziati HYDRON hanno dato un importante contributo in un terreno piuttosto inesplorato: lo spazio-tempo 2+1.
Parole chiave
Sistemi idrodinamici, equazioni differenziali alle derivate parziali, equazioni solitoniche, HYDRON
