Układy typu hydrodynamicznego równań w czasoprzestrzeni 2+1
Układy typu hydrodynamicznego to układy quasi-liniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu. Ten typ równania naturalnie występuje m.in. podczas badania dynamiki gazów, hydrodynamiki, kinetyki chemicznej, geometrii różniczkowej i topologicznej teorii pola. Z drugiej strony równania solitonowe, takie jak nieliniowe równania Schrödingera, są typowo nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi, które obejmują terminy dyspersyjne (to znaczy nie są typu hydrodynamicznego). Zastosowanie uśrednienia Withama do nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych prowadzi jednak do uzyskania układu równań typu hydrodynamicznego. Finansowany ze środków UE zespół naukowców badał równania przypominające równanie macierzowe Riemanna w ramach rachunku biróżniczkowego. W kontekście projektu HYDRON (Near hydrodynamic type systems in 2 +1 dimensions) wybór różnych wariantów rachunku biróżniczkowego pierwszego rzędu umożliwił uzyskanie różnych równań. Najważniejsze otrzymane równania całkowalne to m.in. 2+1-wymiarowe nieliniowe równania Schrödingera. W przypadku wszystkich równań transformacja binarna prowadziła do uzyskania rachunku biróżniczkowego, przystosowanego do generowania rozwiązań powiązanych równań Riemanna. Ponadto na podstawie wariantów macierzowych Riemanna powiązanych z równaniem całkowalnym można wygenerować rozwiązania wielosolitonowe. Obejmują one równania typu wielosolitonowego nieliniowych równań Schrödingera (2+1) oraz samoistnie dualne równania Yanga-Millsa. Samoistnie dualne równania Yanga-Millsa pojawiają się w pomiarowej oraz w klasycznej ogólnej teorii względności. Zespół projektu HYDRON badał również równania Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. W fizyce równania te wyrażają ograniczenia skojarzeń niektórych struktur algebraicznych powiązanych z topologicznymi teoriami pola. Z matematycznego punktu widzenia równania te tworzą układ quasi-liniowy, czyli układ typu hydrodynamicznego. Jednocześnie mają wiele cech równania solitonowego. W szczególności ich rozwiązania nie zwiększają się znacznie w czasie skończonym. W ramach projektu HYDRON cecha ta została wyjaśniona, ponieważ możliwe jest skonstruowanie takiego układu typu hydrodynamicznego równoważnego z równaniem Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. Teoria układów typu hydrodynamicznego jest bardzo złożona i ma duży wpływ na nowoczesną matematykę stosowaną oraz fizykę matematyczną. Badacze z zespołu projektu HYDRON wnieśli istotny wkład w dość niezbadaną dotąd dziedzinę: czasoprzestrzeń 2+1.
Słowa kluczowe
Układy typu hydrodynamicznego, równania różniczkowe cząstkowe, równania solitonowe, HYDRON
