Les couleurs du caractère aléatoire
Dans les années 50, Eugène Wigner a introduit des matrices aléatoires dont les éléments sont à variation aléatoire pour modéliser la structure au niveau énergétique des noyaux de grands atomes. À peu près à la même époque, Philip Anderson a utilisé les opérateurs aléatoires de Schrödinger pour modéliser des solides désordonnés et expliquer la phase de transition de l'isolant au métal. Le concept des graphes aléatoires a été mis en avant par Paul Erdös et Alfred Rényi pour prouver l'existence de graphes remplissant différentes propriétés. Dans les années qui ont suivi, l'étude de ces modèles mathématiques de réseaux de monde réel a modifié le champ des combinatoires. Les matrices aléatoires, les opérateurs de Schrödinger aléatoires et les graphes aléatoires disposent de propriétés spectrales intéressantes au cœur du projet SPECTRA (Spectra of random matrices, graphs and groups). L'objectif des chercheurs était de répondre aux questions encore sans réponse. L'équipe de SPECTRA a examiné des modèles mathématiques de longs câbles en les rapprochant avec des trajets infinis distincts. Les fonctions d'onde correspondant à ces trajets démontrent qu'il peut s'agir de supraconducteurs. Mais les câbles fins ne sont pas de bons conducteurs, l'équipe a donc proposé un autre modèle. Les chercheurs ont travaillé sur une version perturbée de manière aléatoire et ont analysé la forme des fonctions d'onde et la régularité du spectre moyen ainsi que son comportement à zéro énergie. Ils ont trouvé dans ce cas des fonctions d'onde à localiser laissant penser que les câbles longs sont des isolants. Le projet SPECTRA s'est alors concentré sur des graphes aléatoires réguliers rares pouvant être utilisés pour les tests théoriques d'algorithme sur les réseaux de monde réel. L'équipe a étudié des algorithmes locaux aléatoires dans lesquels chaque nœud reçoit une valeur avant de changer d'état en fonction de ce qu'ils voient dans leur voisinage. Ces algorithmes ont surpassé les algorithmes gourmands développés auparavant à cet effet en cas d'utilisation de fonctions d'onde dans ces graphes. Les algorithmes locaux aléatoires n'ont cependant pas pu fonctionner lorsque le niveau de connectivité du réseau était relativement grand. L'analyse spectrale des matrices définies dans les graphes aléatoires a attiré dernièrement beaucoup d'attention car elle est utilisée en sciences computationnelles, en mathématique et en physique. Les travaux du projet SPECTRA ont mis à jour des relations entre la structure géométrique des matrices et graphes avec leur spectre. Les résultats sont présentés en détail dans une série de publications dont les tirages ont été téléchargés sur arXiv.
Mots‑clés
Matrices aléatoires, opérateurs de Schrödinger aléatoires, graphes aléatoires, réseaux de monde réel, SPECTRA
