Die Farben der Zufälligkeit
In 1950er Jahren stellte Eugene Wigner Zufallsmatrizen vor, deren Elemente Zufallsvariablen sind, um die Struktur des Energieniveaus von Kernen großer Atome zu modellieren. Etwa zur selben Zeit verwendete Phillip Anderson Schrödinger-Zufallspotenzen, um ungeordnete Feststoffe zu modellieren und um den Phasenübergang von Nichtleitern zu Metallen zu erklären. Das Konzept der Zufallsgraphen wurde von Paul Erdös und Alfred Rényi weiter verfolgt, um die Existenz von Graphen zu beweisen, die verschiedene Eigenschaften erfüllen. In den nachfolgenden Jahren sorgte die Untersuchung dieser mathematischen Modelle bezüglich Netzen der realen Welt für einen Wandel auf dem Gebiet der Kombinatorik. Zufallsmatrizen, Schrödinger-Zufallspotenzen und Zufallsgraphen weisen interessante Spektraleigenschaften auf. Diese standen im Fokus des Projekts SPECTRA (Spectra of random matrices, graphs and groups). Das Ziel der Forscher bestand darin, nach wie vor offene Fragen anzugehen. Das SPECTRA-Team betrachtete mathematische Langdrahtmodelle und näherte sich diesen mit unendlich diskreten Kupferbahnen an. Die Wellenfunktionen, die diesen Bahnen entsprechen, zeigen, dass es sich um einen Supraleiter handeln könnte. Da Feindrähte jedoch nicht gut leiten, wurde ein anderes Modell vorgeschlagen. Forscher arbeiten an einer zufällig gestörten Version und analysierten die Form der Wellenfunktionen sowie die Regularität des Durchschnittsspektrums und dessen Nullenergie-Verhalten. In diesem Fall wurden lokalisierte Wellenfunktionen festgestellt. Dies legt nahe, dass es sich bei den Langdrähten um Isolatoren handelt. Im Weiteren lag der Fokus der SPECTRA-Forschung auf dünnbesetzten regulären Zufallsgraphen, die verwendet werden können, um theoretisch Algorithmen zu Netzen der realen Welt zu prüfen. Das Team untersuchte lokale Zufallsalgorithmen, in denen jedem Knoten ein Zufallswert zugeordnet wird und die Knoten daraufhin deren Zustand entsprechend deren Erfassung der Umgebung ändern. Solche Algorithmen übertrafen leistungsmäßig Greedy-Algorithmen, die in der Vergangenheit zu diesem Zweck entwickelt worden waren und Wellenfunktionen für die Graphen verwendeten. Dessen ungeachtet funktionierten die lokalen Zufallsalgorithmen nicht, als das Ausmaß an Konnektivität in dem Netz relativ groß war. Die Spektralanalyse zu Matrizen, welche auf Zufallsgraphen definiert sind, zieht seit Neuestem aufgrund deren Implikationen für die Computerwissenschaften, die Mathematik und die Physik mehr und mehr Aufmerksamkeit auf sich. Die SPECTRA-Arbeit hat Verbindungen zwischen der geometrischen Struktur von Matrizen und Graphen bezüglich deren Spektren enthüllt. Die Erkenntnisse sind in einer Reihe von Publikationen näher beschrieben, die elektronisch zum Ausdruck auf arXiv hochgeladen worden sind.
Schlüsselbegriffe
Zufallsmatrizen, Schrödinger-Zufallspotenzen, Zufallsgraphen, Echtwelt-Netze, SPECTRA
