Kolory losowości
W latach 50. Eugene Wigner wprowadził macierze losowe, których elementy są losowymi zmiennymi, w celu modelowania struktury energetycznej jąder dużych atomów. Mniej więcej w tym samym czasie Phillip Anderson wykorzystał losowe operatory Schrödingera w celu modelowania nieuporządkowanych ciał stałych i wyjaśnienia przejścia fazowego z izolatora do metalu. Koncepcja grafów losowych została zaproponowana przez Paula Erdösa i Alfreda Rényiego, aby udowodnić istnienie grafów odzwierciedlających różne właściwości. W kolejnych latach badania tych matematycznych modeli sieci w świecie rzeczywistym zrewolucjonizowały dziedzinę kombinatoryki. Macierze losowe, losowe operatory Schrödingera oraz grafy losowe posiadają interesujące właściwości widmowe, które były przedmiotem badań prowadzonych w ramach projektu SPECTRA (Spectra of random matrices, graphs and groups). Celem badaczy było znalezienie odpowiedzi na otwarte pytania. Zespół projektu SPECTRA badał modele matematyczne długich przewodów, które zbliżono do nieskończonych ścieżek dyskretnych. Funkcje fal odpowiadające takim ścieżkom pokazują, że mogą one być nadprzewodnikami. Ponieważ cienkie przewody nie wykazują dobrych właściwości przewodzenia, zaproponowano nowy model. Naukowcy pracowali nad losowo zaburzoną wersją i przeanalizowali kształt funkcji fal, jak również regularność średniego widma i jego zachowanie przy zerowym poziomie energii. W tym przypadku stwierdzono, że funkcje fal były zlokalizowane, co sugeruje, że długie przewody są izolatorami. Następnie badania prowadzone w ramach projektu SPECTRA skupiono na rzadkich regularnych grafach losowych, które mogą być używane do teoretycznego testowania algorytmów na sieciach w świecie rzeczywistym. Zespół badał lokalne algorytmy losowe, w których wartość losowa jest przypisywana w każdym węźle, po czym zmienia się stan węzłów w zależności od sąsiadujących węzłów. Takie algorytmy sprawdzały się lepiej niż algorytmy zachłanne, opracowane wcześniej w tym celu, gdy stosowano funkcje fal na grafach. Niemniej jednak lokalne algorytmy losowe nie mogły funkcjonować, gdy stopień łączność w sieci był stosunkowo wysoki. Analiza widmowa macierzy określonych na grafach losowych przyciąga ostatnio coraz więcej uwagi ze względu na jej znaczenie w dziedzinie informatyki, matematyki i fizyki. Prace prowadzone w ramach projektu SPECTRA wykazały połączenia pomiędzy strukturą geometryczną macierzy i grafów z ich widmami. Wyniki projektu opisano w szeregu publikacji, których wersje elektroniczne są dostępne na stronie arXiv.
Słowa kluczowe
Macierze losowe, losowe operatory Schrödingera, grafy losowe, sieci w rzeczywistym świecie, SPECTRA
