I colori della casualità
Nel 1950, Eugene Wigner ha introdotto le matrici random, i cui elementi sono variabili casuali, per modellare la struttura dei livelli di energia dei nuclei di atomi di grandi dimensioni. All’incirca nello stesso periodo Phillip Anderson usava operatori di Schrödinger casuali per modellare i solidi disordinati e spiegare la transizione di fase da isolante a metallo. Il concetto di grafi casuali è stato proposto da Paul Erdös e Alfred Rényi per dimostrare l’esistenza di grafi che soddisfano varie proprietà. Negli anni successivi, lo studio di questi modelli matematici di reti reali trasforma il campo del calcolo combinatorio. Le matrici random, gli operatori di Schrödinger casuali e i grafi casuali hanno interessanti proprietà spettrali che sono stati al centro del progetto SPECTRA (Spectra of random matrices, graphs and groups). Scopo dei ricercatori era quello di rispondere a domande ancora aperte. La squadra di SPECTRA ha analizzato i modelli matematici dei cavi lunghi approssimandoli con infiniti percorsi discreti. Le funzioni d’onda corrispondenti a tali percorsi mostrano che potrebbe esistere un superconduttore. Ma i cavi sottili non conducono bene e, di conseguenza, è stato proposto un modello diverso. I ricercatori hanno lavorato su una versione con perturbazione casuale ed esaminato la forma delle funzioni d’onda nonché la regolarità dello spettro medio e il suo comportamento a energia zero. In questo caso si è rilevato che le funzioni d’onda sono localizzate, e ciò suggerisce che i cavi lunghi siano isolanti. Successivamente, la ricerca SPECTRA si è concentrata sui grafi regolari casuali sparsi, che possono essere utilizzati per verificare teoricamente gli algoritmi sulle reti fisiche. Il team ha studiato algoritmi casuali locali in cui a ogni nodo è assegnato un valore casuale, con i nodi che poi cambiano stato in base a ciò che “vedono” nelle loro adiacenze. Tali algoritmi si sono rivelati migliori degli algoritmi greedy sviluppati in passato, quando le funzioni d’onda sono state usate sui grafi. Ciononostante, gli algoritmi locali casuali potevano non funzionare quando il grado di connettività della rete era relativamente grande. L’analisi spettrale delle matrici definite su grafi casuali ha recentemente attirato un’attenzione crescente a causa delle sue implicazioni in informatica, matematica e fisica. Il lavoro di SPECTRA ha rivelato le connessioni tra la struttura geometrica di matrici e grafi con i relativi spettri. I risultati sono dettagliati in una serie di pubblicazioni, le cui versioni elettroniche sono caricate su arXiv.
Parole chiave
Matrici random, operatori di Schrödinger casuali, grafi casuali, reti fisiche, SPECTRA
