Les déformations simultanées en algèbre et en géométrie
Le concept de déformation est général en mathématiques. Il sert à étudier des objets d'un type donné, en les organisant en familles et en déterminant leurs relations. C'est la méthode pour déterminer le module d'une structure algébrique ou plus générale. La déformation de divers types de structures mathématiques peut être encapsulée dans le langage d'algèbres de Lie fortement homotopes. La plupart du temps, il peut être difficile d'obtenir l'algèbre de Lie gouvernant un problème de déformation donné. On connaît des techniques pour résoudre ce problème, en faisant appel à des opérades. Les mathématiciens du projet HQSMCF (Homotopy quantum symmetries, monoidal categories and formality), financé par l'UE, ont développé plus avant une méthode pour générer des algèbres de Lie, à partir de concepts simples d'algèbre graduée linéaire. Ils l'ont adaptée à l'étude des déformations simultanées. Les chercheurs du projet HQSMCF ont appliqué cette méthode relativement plus facile à de vieux problèmes d'algèbre, confirmant des résultats connus mais aussi aboutissant à des applications en géométrie, impossibles autrement. Ils l'ont aussi utilisée sur des déformations simultanées de diverses structures algébriques et de leurs morphismes. Les algèbres de Lie fortement homotopes sont associées à des variétés disposant d'une forme fermée. Pour étudier des actions de groupes de Lie, les mathématiciens ont introduit une théorie des cartes des moments d'homotopie. Ces cartes sont des morphismes de l'algèbre de Lie du groupe, vers une algèbre supérieure de Lie-Poisson. Les mathématiciens ont établi des relations avec de précédents travaux en théorie des champs classique, en théorie algébroïde et en géométrie différentielle. Enfin, ils ont utilisé la théorie développée pour construire diverses algèbres de Lie fortement homotopes, en tant qu'extensions centrales géométriques supérieures d'algèbres de Lie. Le projet HQSMCF a progressé dans la démonstration de la formalité des algèbres de Lie fortement homotopes, et mis en place des collaborations étroites entre de grands mathématiciens. L'espoir est que ce réseau d'institutions universitaires d'Europe et d'ailleurs continuera d'évoluer après la fin du projet.
Mots‑clés
Déformations simultanées, algèbre de Lie, HQSMCF, algèbre graduée linéaire, morphismes, actions de groupe de Lie
