Simultane Deformationen im Bereich von Algebra und Geometrie
Das Konzept der Deformation ist im Bereich der Mathematik allgegenwärtig. Es wird zur Untersuchung von Objekten eines bestimmten Typs verwendet, indem diese in Familien unterteilt werden und indem bestimmt wird, inwiefern diese in Beziehung zueinander stehen. Im Wesentlichen ist dies die Vorgehensweise, die bei der Bestimmung von Moduli einer algebraischen oder einer allgemeineren Struktur Anwendung findet. Die Deformation verschiedener Arten mathematischer Strukturen kann in die Sprache streng homotoper Lie-Algebren eingebettet werden. Zumeist gestaltet es sich schwierig, die Lie-Algebra in Erfahrung zu bringen, welche das jeweilige Deformationsproblem löst. Es gibt bekannte Verfahren, um dieses Problem zu lösen, welche auf Operaden basieren. Im Rahmen des EU-finanzierten Projekts HQSMCF (Homotopy quantum symmetries, monoidal categories and formality), entwickelten Mathematiker ein Verfahren weiter, das vorgeschlagen wurde, um aus einfachen Konzepten der gradierten linearen Algebra Lie-Algebra-Strukturen herzustellen. Dieses Verfahren wurde auf die Untersuchung simultaner Deformationen angepasst. Das HQSMCF-Team wandte dieses relativ gesehen einfachere Verfahren auf alte Probleme in der Algebra an. Hierbei wurden bekannte Resultate erneut erzielt und es zeigten sich ebenfalls geometrische Anwendungsmöglichkeiten, die ansonsten nicht möglich gewesen wären. Konkret wurde das Verfahren erfolgreich auf simultane Deformationen verschiedener algebraischer Strukturen und deren Morphismen angewandt. Streng homotope Lie-Algebren sind mit Mannigfaltigkeiten assoziiert, die eine geschlossene Form aufweisen. Zur Untersuchung von Lie-Gruppenwirkungen an diesen Mannigfaltigkeiten führten die Mathematiker eine Theorie zu Homotopie-Momentabbildungen ein. Bei diesen Abbildungen handelt es sich im Wesentlichen um Lie-Algebra-Morphismen einer Gruppe höherer Poisson-Lie-Algebra. Es wurden Verbindungen zu vorhergehender Arbeit auf dem Gebiet der Feldtheorie, der Algebroidtheorie und der Differentialgeometrie hergestellt. Schließlich wandten die Mathematiker die entwickelte Theorie an, um verschiedene streng homotope Lie-Algebren geometrisch als höhere zentrale Erweiterungen von Lie-Algebren zu konstruieren. Abgesehen von Fortschritten hinsichtlich des Nachweises der Formalität streng homotoper Lie-Algebren wurde über HQSMCF eine enge Zusammenarbeit zwischen führenden Mathematikern gebildet. Es besteht die Hoffnung, dass dieses Netz an akademischen Einrichtungen aus Europa und Übersee über das Ende des Projekts hinaus ausgebaut wird.
Schlüsselbegriffe
Simultane Deformationen, Lie-Algebra, HQSMCF, gradierte lineare Algebra, Morphismen, Lie-Gruppenwirkungen
