Herramientas matemáticas e informáticas para ayudar a gestionar grandes redes
El muestreo es el principal método que se utiliza para gestionar grandes redes. Revela las estadísticas locales de un grafo disperso, la distribución de bolas-r para cada r. La propiedad de un grafo es forzosa si existen estadísticas locales tales que todos los grafos con dichas estadísticas tienen propiedades. Pensando en ello, el proyecto BAG (Benjamini-Schramm approximation of groups and graphings), financiado con fondos europeos, abordó dos preguntas básicas que surgen en todos los campos para los cuales los grandes grafos son objetos centrales. ¿Qué propiedades de un grafo son forzosas? Dada una propiedad de coloreado forzada de un grafo, ¿se puede hallar una propiedad de coloreado adecuada de forma eficiente? El hallazgo clave de BAG es la demostración de la conjetura de Bowen sobre los grupos de Kazhdan. Esto muestra que las propiedades de expansión de las grandes redes se pueden forzar mediante condiciones locales. Ello representa una herramienta prometedora para resolver el problema principal de construcción de un grupo no sófico (inaproximable). El resultado tiene varias aplicaciones, desde la teoría ergódica hasta la topología y la teoría de grafos. También reprueba las teorías de Michael H. Freedman, Matthew B. Hastings, Assaf Naor y L. M. Lovasz. Los investigadores utilizaron un enfoque analítico sobre la famosa conjetura de la dicotomía relativa a los problemas de cumplimiento de restricciones. Implementaron un nuevo algoritmo determinista para el problema aproximado del vector más próximo, uno de los más básicos en geometría. Su enfoque se basó en un empobrecimiento aleatorio que se puede desaleatorizar utilizando las ideas de la seudoaleatoriedad. Los socios del proyecto mejoraron la solución de Gaboriau-Lyons al problema dinámico de von Neumann sobre grupos no amenables. También resolvieron el problema de Nicolas Monod sobre subgrupos aleatorios geométricos. Finalmente, el equipo de BAG demostró que el logaritmo normalizado del número de coincidencias de un grafo es estimable. BAG ha arrojado luz sobre cómo gestionar mejor grandes grafos y redes y ha ayudado a tratar algunos de los principales problemas que surgen en los distintos dominios.
Palabras clave
Redes, grafos, BAG, Benjamini-Schramm, trazado de grafos
