Strumenti matematici e informatica per aiutare la gestione delle reti di grandi dimensioni
Il campionamento rappresenta il principale metodo utilizzato per gestire le reti di grandi dimensioni. Esso rivela le statistiche locali di un grafico sparso, ossia la distribuzione di r palle per ogni r. Le proprietà di un grafico si possono forzare se vi sono statistiche locali tali che ogni grafico con queste statistiche vanta delle proprietà. Con questo in mente, il progetto BAG (Benjamini-Schramm approximation of groups and graphings), finanziato dall’UE, ha affrontato due questioni fondamentali sollevate in tutti i campi in cui i grandi grafici sono diventati oggetto centrale. Quali proprietà dei grafici si possono forzare? Data una proprietà di colorazione forzabile di un grafico, può una proprietà di colorazione essere trovata in modo efficiente? La scoperta chiave del progetto BAG è data dalla prova della congettura di Bowen su gruppi di Kazhdan. Ciò dimostra che le proprietà di espansione delle reti di grandi dimensioni possono essere applicate dalle condizioni locali. Questo rappresenta uno strumento promettente per risolvere il problema principale relativo alla costruzione di un gruppo non approssimabile. Il risultato vanta diverse applicazioni, dalla teoria ergodica alla topologia e teoria dei grafi. Si rimproverano anche le teorie di Michael H. Freedman, Matthew B. Hastings, Assaf Naor e L. M. Lovasz. I ricercatori hanno scelto un approccio analitico alla famosa congettura di dicotomia per il problema di soddisfacimento dei vincoli. È stato realizzato un nuovo algoritmo deterministico per approssimare il problema del vettore più vicino (uno dei principali problemi geometrici di base). L’approccio è stato fondato su una sparsificazione casuale che può essere derandomizzata utilizzando la pseudocasualità. I partner del progetto hanno migliorato la soluzione Gaboriau-Lyons al problema dinamico di von Neumann, in relazione ai gruppi non-suscettibili. È stato inoltre risolto il problema di Nicolas Monod relativo ai sottogruppi casuali geometrici. Infine, il team BAG ha dimostrato che il logaritmo normalizzato del numero di accoppiamenti in un grafico è stimabile. Il progetto ha fatto luce sul modo in cui gestire al meglio grafici e reti di grandi dimensioni, e ha contribuito ad affrontare alcuni dei principali problemi incontrati nei vari settori.
Parole chiave
Reti, grafici, BAG, Benjamini-Schramm, graphing
