Narzędzia matematyczne i komputerowe pomagają w zarządzaniu dużymi sieciami
Próbkowanie jest najważniejszą metodą używaną do zarządzania dużymi sieciami. Pozwala ono na poznanie lokalnej statystyki rzadkiego grafu, czyli rozkładu r-kul dla każdego r. Właściwość grafu jest silna, gdy istnieje lokalna statystyka, tak że każdy graf z taką statystyką posiada właściwości. W tym kontekście, uczestnicy projektu BAG (Benjamini-Schramm approximation of groups and graphings), finansowanego ze środków UE, postanowili odpowiedzieć na dwa podstawowe pytania dotyczące wszystkich dziedzin, w których duże grafy stały się centralnymi obiektami. Które właściwości grafów są silne? Biorąc pod uwagę silną własność kolorującą grafu, czy możliwe jest efektywne znalezienie prawidłowej własności kolorującej? Kluczowym rezultatem projektu BAG jest dowód twierdzenia Bowena dotyczącego grup Kazhdana. Pokazuje ono, że własności rozszerzania dużych sieci mogą być wymuszone przez lokalne warunki. Jest to obiecujące narzędzie w zakresie rozwiązania najważniejszego problemu dotyczącego konstruowania grupy niesoficznej (nieprzybliżalnej). Rezultat ten znajduje kilka zastosowań, od teorii ergodycznej po teorię grafów. Podważa też teorie Michaela H. Freedmana, Matthew B. Hastingsa, Assafa Naora i L. M. Lovasza. Badacze zastosowali podejście analityczne do słynnej hipotezy dychotomii dotyczącej problemów spełniania ograniczeń. Zastosowali oni nowy algorytm deterministyczny do problemu przybliżonego najbliższego wektora — należącego do podstawowych problemów geometrii. Ich podejście było oparte na losowej sparsyfikacji, która może zostać zderandomizowana przy pomocy koncepcji z zakresu pseudolosowości. Partnerzy projektu udoskonalili rozwiązanie Gaboriau-Lyonsa dynamicznego problemu von Neumanna dotyczącego grup niepodległych. Rozwiązali też problem Nicolasa Monoda dotyczący geometrycznych podgrup losowych. Zespół BAG dowiódł wreszcie, że normalizowany logarytm liczby dopasowań w grafie jest możliwy do oszacowania. Projekt BAG pokazał, w jaki sposób można skuteczniej zarządzać dużymi grafami i sieciami, oraz pomógł w uporaniu się z kilkoma problemami napotykanymi w różnych dziedzinach.
Słowa kluczowe
Sieci, grafy, BAG, Benjaminiego-Schramma, graphing
