Une balade en territoire obscur
La théorie des grandes déviations est une pierre angulaire des probabilités modernes et est utilisée en mécanique statistique, en théorie de l'information, dans la gestion des risques et dans de nombreux autres domaines. Le projet LARGEDEVRWRE (Large deviations for random walks in random environments) a été mis en place mieux comprendre les propriétés des grandes déviations des marches aléatoires en environnement aléatoire multidimensionnel. De nombreux systèmes naturels présentent des phénomènes complexes, qui peuvent être étudiés en utilisant des modèles stochastiques qui incluent souvent un paramètre «réglable», comme le temps, le volume ou le nombre de particules. Il a été montré que certains de ces modèles se comportent de manière déterministe ou aléatoire mais bien comprise lorsque ce paramètre est poussé à sa valeur extrême (zéro ou infini). Ces résultats sont désignés sous le nom de théorèmes des limites, qui incluent les lois des grands nombres (LLN). Une LLN s'accompagne souvent d'un théorème central limite et/ou d'un principe des grandes déviations. Le terme de «grande déviation» vient du fait qu'un évènement rare complémentaire est une grande déviation par rapport à un comportement typique. Les chercheurs ont étudié les propriétés de grandes déviations d'une série de modèles pour obtenir des expressions simples des fonctions de taux de grandes déviations découpées et moyennes. Les fonctions de taux ont été comparées pour découvrir une formule qui les lie. Les résultats et techniques des grandes déviations ont donné des résultats précis pour des formules variationnelles qui étaient plus simples que celles existant dans la littérature pour caractériser le niveau de désordre d'un environnement aléatoire. Le projet a eu un impact significatif sur la théorie des probabilités par son approche unifiée des modèles de milieux aléatoires et le développement de techniques robustes. Cette approche unifiée prend le point de vue de la particule effectuant le mouvement aléatoire (la première couche) dans l'environnement aléatoire (la seconde couche), et réduit les deux couches d'aléatoire en une seule. Le projet LARGEDEVRWRE a étudié d'autres modèles avec deux couches d'aléatoire, notamment les modèles stochastiques de rencontre-reproduction issus de l'étude des dynamiques démographiques. Ces modèles aideront à développer la compréhension scientifique de l'évolution, de la propagation des maladies sexuellement transmissibles et ils peuvent également être appliqués à l'informatique et l'économie.
Mots‑clés
Marche aléatoire dans un environnement aléatoire, grande déviation, LARGEDEVRWRE, modèles stochastiques, lois des grands nombres
