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Structure Theory for Directed Graphs

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Teorema sobre la estructura de grafos menores dirigidos

La sencillez con la que los grafos representan aspectos del mundo real los hace ideales para informar algoritmos. El equipo del proyecto DISTRUCT empleó la teoría de grafos para dilucidar la influencia que tiene la estructura de un grafo dirigido para mejorar la potencia y la velocidad de cálculo de los algoritmos.

Economía digital

Los grafos son estructuras matemáticas que proporcionan modelos sencillos para representar fenómenos del mundo real y, a menudo, se utilizan para diseñar algoritmos que controlan muchas aplicaciones. Los grafos tienen formas y tamaños diversos, por lo que la teoría algorítmica de la estructura de grafos permite identificar las estructuras más útiles para mejorar la velocidad y la eficiencia de cálculo. «Se sabe que los grafos en árbol permiten la resolución eficaz de problemas algorítmicos, pero ¿y otras estructuras?», se pregunta Stephan Kreutzer, coordinador del proyecto en la Universidad Técnica de Berlín, entidad de acogida del proyecto DISTRUCT, financiado por el Consejo Europeo de Investigación. Una de las diferencias entre grafos, que influye en su función, es si son grafos dirigidos o no dirigidos. En un grafo no dirigido, se puede dibujar una línea, denominada arista, para conectar dos puntos, denominados vértices, que tienen una relación bidireccional. En un grafo dirigido, esta línea suele parecerse más a una flecha, que establece una relación unidireccional entre puntos. Si los vértices representan estaciones de tren y las aristas las vías, los grafos no dirigidos se pueden emplear para programar algoritmos que optimizan rutas ferroviarias. Sin embargo, los grafos dirigidos son más adecuados para algoritmos de gestión de la cadena de suministro, donde los vértices representan los componentes del producto que se tiene que ensamblar antes de que pueda comenzar la siguiente etapa. Otra influencia estructural es si se puede decir que un grafo excluye ciertos «menores»: subestructuras formadas a partir de un grafo al eliminar primero las aristas y los vértices y, después, contraer las aristas. Los menores son importantes para los algoritmos, ya que crear estructuras más pequeñas a partir de la intrapolación de una estructura central aumenta, de forma notable, la gama de problemas a los que se puede aplicar un algoritmo. Dado que ya se había demostrado la existencia de menores excluidos en las estructuras de grafos no dirigidos, el equipo de proyecto DISTRUCT examinó menores en grafos dirigidos. «No existía una teoría de menores en grafos dirigidos. Las definiciones estaban ahí, pero no había trabajos de investigación específicos, lo cual es sorprendente teniendo en cuenta los miles de artículos sobre menores en grafos no dirigidos», comenta Kreutzer. «Nuestros resultados ayudan a establecer la teoría de estructuras menores de grafos dirigidos como un campo independiente de nueva aparición».

Nuevas técnicas algorítmicas a partir de grafos dirigidos

Si bien los grafos no dirigidos con menores excluidos se caracterizaron a través de la teoría de la estructura, que culminó con el teorema del grafo menor o conjetura de Wagner, hasta el momento no se ha logrado nada comparable con los grafos dirigidos. Pero caracterizar el teorema de la estructura de grafos menores no dirigidos había dependido primero de lograr una serie de pasos intermedios, en concreto el «teorema de la cuadrícula excluida», el «teorema de la pared plana» y el «teorema de descomposición de enredos». «Sabíamos que corroborar el teorema completo no era posible en el marco de DISTRUCT; incluso estos pasos intermedios parecían desalentadores. Así que nuestros resultados más importantes son versiones dirigidas de los pasos intermedios que condujeron al teorema no dirigido, es decir, nuestro teorema dirigido de la pared plana y nuestra descomposición dirigida del árbol de enredos», explica Kreutzer. Cada uno de estos teoremas intermedios es en sí mismo importante para los nuevos enfoques de diseño de algoritmos. Por ejemplo, el teorema de la pared plana plantea que un grafo dirigido se parece a un árbol, o contiene una subestructura plana como una cuadrícula, o una subestructura densa conocida como camarilla. Identificar la estructura ayuda a los programadores a diseñar el algoritmo más adecuado. El equipo descubrió que las versiones dirigidas de estos teoremas intermedios diferían de las versiones no dirigidas preexistentes, por lo que tuvieron que crear nuevas técnicas computacionales. «Nuestros resultados posibilitan diseñar técnicas de algoritmos para grafos dirigidos que antes no eran posibles —concluye Kreutzer—. «Como modelo matemático fundamental, es útil para una amplia gama de aplicaciones y campos de investigación, desde las ciencias sociales hasta las ciencias naturales». El equipo trabaja ahora en corroborar el teorema de estructura completa para los grafos menores reducidos.

Palabras clave

DISTRUCT, grafo dirigido, grafo no dirigido, algoritmo, teoría de la estructura de grafos, grafo menor, matemática

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