Espacios simples que sirven para analizar estructuras complejas
La geometría tórica, una rama de la geometría algebraica, utiliza estructuras discretas relativamente simples para representar variedades algebraicas potencialmente complicadas. Estas últimas son importantes como espacios ambiente donde se hallan los demás objetos. El proyecto Contact manifolds («Variedades de contacto proyectivas complejas») trabaja en la clasificación de las variedades Fano con contacto proyectivo complejo y las variedades Quaternion-Kähler con curvatura escalar positiva. El proyecto, financiado por la Unión Europea, también pretende clasificar subvariedades lisas de espacio proyectivo con propiedades específicas como la dualidad lisa. Esto se refiere a las transformaciones geométricas en que los puntos se sustituyen por líneas y las líneas por puntos sin alterar las propiedades de incidencia del objeto ni los puntos de contacto de subconjuntos. Habiendo especificado una serie de objetivos que guiasen su trabajo, los investigadores tratan de diferenciar más las propiedades geométricas de las variedades Quaternion-Kähler y las propiedades algebraico-geométricas de las variedades complejas Fano con contacto. Por el momento, los resultados experimentales prueban que toda variedad Fano de contacto comparte una porción muy importante de la estructura de una variedad homogénea. Esto es, la geometría de una variedad Fano de contacto se puede emplear para construir varias otras nociones algebraicas como la forma de Killing (forma bilineal simétrica), el álgebra de Lie graduada y algunas partes del corchete de Lie. los integrantes del equipo han logrado describir con éxito mapas algebraicos entre variedades tóricas y sus coordenadas homogéneas. También han desarrollado un código informático que permite efectuar cálculos explícitos sobre la base de estas descripciones. los socios del proyecto están estudiando variedades secantes de los productos de Segre con el objetivo de obtener un nuevo punto de vista sobre ellos. El proyecto Contact manifolds espera alcanzar nuevas ampliaciones de los resultados conseguidos en variedades de contacto y variedades legendrianas.