Proste przestrzenie wyjaśniają złożone struktury
Geometria toryczna, dziedzina geometrii algebraicznej, wykorzystuje stosunkowo proste struktury dyskretne do przedstawiania potencjalnie złożonych różnorodności algebraicznych. Te drugie są ważne jako przestrzenie otaczające, w których zagnieżdżone są inne obiekty. Projekt "Złożone rzutowe rozmaitości styczne" (Rozmaitości styczne) ma na celu sklasyfikowanie złożonych rzutowych rozmaitości stycznych Fano oraz rozmaitości kwaternionowych Kählera o dodatniej krzywiźnie skalarnej. Ten finansowany ze środków UE projekt ma również na celu sklasyfikowanie gładkich podrozmaitości przestrzeni rzutowej o specyficznych właściwościach, takich jak gładka dualność. Odnosi się to do transformacji geometrycznych, gdzie punkty zastępowane są prostymi, a proste punktami bez zmiany właściwości obiektu ani punktów styku podzbioru. Po szczegółowym określeniu celów badań naukowcy przystąpili do pracy nad rozróżnieniem właściwości geometrycznych rozmaitości kwaternionowych Kählera od właściwości geometrycznych złożonych stycznych rozmaitości Fano. Wyniki doświadczeń pokazały dotychczas, że rozmaitości styczne Fano współdzieli wiele ze strukturą rozmaitości homogenicznej. Oznacza to, że geometria stycznej rozmaitości Fano może być wykorzystana do skonstruowania różnych innych pojęć algebraicznych, takich jak forma Killinga (symetryczna forma dwuliniowa), gradacja algebry Liego, a także pewna część nawiasu Liego. Członkom zespołu udało się opisać mapy algebraiczne między rozmaitościami torycznymi a współrzędnymi jednorodnymi. Stworzyli także kod komputerowy, który umożliwia wykonywanie formalnych obliczeń siły tych opisów. W ramach ciągłych działań partnerzy projektu badają rozmaitości siecznych iloczynu Segre w celu przedstawienia nowego punktu widzenia na ten temat. Oczekuje się, że projekt "Rozmaitości styczne" jeszcze poszerzy wyniki dotyczące rozmaitości stycznych oraz rozmaitości legendrowskich.