Des espaces simples élucident les structures complexes
La géométrie torique, une branche de la géométrie algébrique, utilise des structures discrètes relativement simples pour représenter des variétés algébriques potentiellement complexes. Ces derniers sont importants comme espaces ambiants où vivent d'autres objets. Le projet Contact manifolds («Complex projective contact manifolds») œuvre à la classification des collecteurs Fano de contact projectif complexe et des collecteurs quaternion-Kähler avec des courbures scalaires positives. Ce projet financé par l'UE vise également à classifier les sous-variétés homogènes d'espace projectif ayant des propriétés telles que la dualité homogène. Il s'agit de transformations géométriques où les points sont remplacés par des lignes et les lignes par des points, sans modifier les propriétés de l'objet relatives à l'incidence ou aux points de rencontre de sous-ensembles. Après avoir détaillé plusieurs des objectifs afin d'orienter leurs travaux, les chercheurs travaillent à distinguer les propriétés géométriques des collecteurs quaternion-Kähler et les propriétés algébro-géométriques des collecteurs de contact Fano complexes. Les résultats expérimentaux ont jusqu'à présent montré que tout collecteur de contact Fano a pratiquement la même structure qu'un collecteur homogène. En d'autres termes, la géométrie d'un collecteur de contact Fano permet de construire diverses autres notions algébriques telles que la forme de Killing (une forme bilinéaire symétrique), le classement de l'algèbre de Lie et certaines parties du crochet de Lie. Les membres de l'équipe sont parvenus à décrire les cartes algébriques entre les variétés toriques et leurs coordonnées homogènes. Ils ont également développé un code informatique qui permet l'exécution de calculs explicites sur la force de ces descriptions. Dans le cadre de leurs travaux actuels, les partenaires du projet étudient les variétés sécantes des produits de Segre dans le but de proposer un nouveau point de vue les concernant. Le projet Contact manifolds espère parvenir à une extension des résultats obtenus sur les collecteurs de contact et les variétés légendriennes.