Description du projet
La recherche sur les cartes planaires aléatoires pourrait résoudre des problèmes majeurs en physique statistique
Domaine de recherche en plein essor, les cartes planaires se trouvent au carrefour entre la théorie des probabilités, la géométrie, l’analyse combinatoire, l’analyse complexe et la physique statistique. Il s’agit d’intégrations de cartes topologiques dans le plan, le subdivisant en sommets, arêtes et facettes. En tant que surfaces aléatoires discrètes, elles pourraient converger vers des surfaces limites. Le projet UniversalMap, financé par l’UE, entend démontrer que les encastrements de certaines cartes planaires aléatoires convergent vers la gravité quantique de Liouville, une classe de modèles de surfaces aléatoires naturelles, qui trouve ses racines dans la théorie des champs conformes. En combinant des expertises relevant de différents domaines, le projet prévoit également de prouver les principes d’universalité des cartes planaires aléatoires intégrées. Les recherches menées dans le cadre du projet pourraient offrir des solutions sur mesure à des problèmes centraux de la physique statistique, en fournissant par exemple des mesures de distance dans le cadre d’une marche auto-évitante à n étapes.
Objectif
The PI proposes to study a variety of open problems involving random planar maps and trees. This is a booming field at the intersection of probability, geometry, statistical physics, combinatorics and complex analysis. It has grown tremendously in the last two decades, in depth and breadth, and has seen breakthroughs on long-standing classical problems.
The PI's first goal is to study the universality of embedded random planar maps and prove their convergence to what is known as Liouville quantum gravity, a class of random surfaces predicted by physicists to be the universal limit to such discrete random surfaces. Various map embedding mechanisms will be studied such as harmonic embedding, square-tiling, circle packing and others. The second goal is to solve problems concerning stochastic processes (such as random walks, percolation and the Ising model) on embedded random planar maps. This will shed light on the behavior of the same stochastic processes on regular lattices (such as the square or triangular grids) due to the non-rigorous Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov correspondence, a conjectural formula from the physics literature relating the behavior of critical statistical physics models on random lattices to their behavior on regular lattices. We will gain progress on these inspiring yet non-rigorous predictions by developing various probabilistic, geometric and complex analytic tools aimed to show that instabilities in the embeddings cancel out due to the randomness of the planar maps.
This project has the potential to lead to the solution of the most central problems in two-dimensional statistical physics, such as estimating the typical displacement of the self-avoiding walk, proving conformal invariance for critical percolation on the square lattice and many others.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Mots‑clés
Programme(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) ERC-2020-COG
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ERC-COG - Consolidator GrantInstitution d’accueil
69978 Tel Aviv
Israël