Descripción del proyecto
Más allá de la teoría actual de la cohomología motívica
La cohomología es parte de la geometría y la teoría de los espacios y sirve para capturar y linealizar información geométrica y topológica sutil. Su uso se ha ampliado a la geometría algebraica y la teoría de números, donde permite codificar información aritmética relevante para múltiples problemas importantes sin resolver. Una teoría de la cohomología concreta, y en cierto sentido universal, es la cohomología geométrica motívica desarrollada desde los años ochenta del siglo pasado hasta la primera década del siglo XXI. En el proyecto MoCoS, financiado con fondos europeos, se está desarrollando una extensión de esta cohomología motívica al contexto aritmético, e incluso singular. Para ello, se aprovecharán avances recientes en la teoría de la homotopía y la geometría aritmética, como la homología cíclica topológica y los perfectoides.
Objetivo
The project belongs to the field of arithmetic algebraic geometry and is centred around algebraic K-theory, motivic cohomology, and topological cyclic homology. The overall goal is to develop a general theory of motivic cohomology for arbitrary schemes, extending the existing theory of Bloch, Levine, Suslin, Voevodsky, and others in the special case of smooth algebraic varieties. This will describe non-connective algebraic K-theory via an Atiyah--Hirzebruch spectral sequence. The project relies on very recent breakthroughs in algebraic K-theory and topological cyclic homology.
In the case of singular algebraic varieties, our goal will be to develop a theory of motivic cohomology which both satisfies singular analogous of the Beilinson--Lichtenbaum conjectures and is also compatible with the trace maps to negative cyclic and topological cyclic homology. Its properties will refine those of K-theory in the presence of singularities; for example, we will study a motivic refinement of Weibel's vanishing conjecture and a theory of ``infinitesimal motivic cohomology'' satisfying cdh descent.
In the case of regular arithmetic schemes we will propose a new approach to the theory of p-adic motivic cohomology, based on topological cyclic homology and syntomic cohomology, which works in much greater generality than previous approaches. Perfectoid techniques will play an important role and we will establish the p-adic Beilinson--Lichtenbaum and Bloch--Kato conjectures.
Ámbito científico
Programa(s)
Régimen de financiación
ERC-COG - Consolidator GrantInstitución de acogida
75794 Paris
Francia