Projektbeschreibung
Jenseits der aktuellen motivischen Kohomologietheorie
Die Kohomologie entspringt einem Teil der Geometrie und der Theorie der Räume, mit dem subtile geometrische und topologische Informationen erfasst und linearisiert werden können. Sie wurde in vielerlei Hinsicht auf die algebraische Geometrie und die Zahlentheorie ausgedehnt, wo sie nun arithmetische Informationen kodieren kann, die für zahlreiche ungelöste Schlüsselprobleme relevant sind. Eine besondere und in gewissem Sinne universelle Kohomologietheorie stellt die geometrische motivische Kohomologie dar, die in den 1980er bis 2000er Jahren entstanden ist. Das EU-finanzierte Projekt MoCoS entwickelt eine Erweiterung dieser motivischen Kohomologie auf den arithmetischen und sogar singulären Kontext. Es stützt sich auf die jüngsten Durchbrüche in der Homotopietheorie und der arithmetischen Geometrie, wie die topologische zyklische Homologie und Perfektoide.
Ziel
The project belongs to the field of arithmetic algebraic geometry and is centred around algebraic K-theory, motivic cohomology, and topological cyclic homology. The overall goal is to develop a general theory of motivic cohomology for arbitrary schemes, extending the existing theory of Bloch, Levine, Suslin, Voevodsky, and others in the special case of smooth algebraic varieties. This will describe non-connective algebraic K-theory via an Atiyah--Hirzebruch spectral sequence. The project relies on very recent breakthroughs in algebraic K-theory and topological cyclic homology.
In the case of singular algebraic varieties, our goal will be to develop a theory of motivic cohomology which both satisfies singular analogous of the Beilinson--Lichtenbaum conjectures and is also compatible with the trace maps to negative cyclic and topological cyclic homology. Its properties will refine those of K-theory in the presence of singularities; for example, we will study a motivic refinement of Weibel's vanishing conjecture and a theory of ``infinitesimal motivic cohomology'' satisfying cdh descent.
In the case of regular arithmetic schemes we will propose a new approach to the theory of p-adic motivic cohomology, based on topological cyclic homology and syntomic cohomology, which works in much greater generality than previous approaches. Perfectoid techniques will play an important role and we will establish the p-adic Beilinson--Lichtenbaum and Bloch--Kato conjectures.
Wissenschaftliches Gebiet
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-COG - Consolidator GrantGastgebende Einrichtung
75794 Paris
Frankreich