Description du projet
Aller au-delà de la théorie de la cohomologie motivique actuelle
À l’origine, la cohomologie appartient à la géométrie et à la théorie des espaces, et sert à saisir et linéariser de subtiles informations géométriques et topologiques. Elle a été étendue de diverses façons à la géométrie algébrique et à la théorie des nombres, où elle permet désormais de coder des informations arithmétiques pertinentes pour de nombreux problèmes importants non résolus. Une théorie cohomologique particulière, et en un certain sens universelle, est la cohomologie géométrique motivique développée des années 1980 aux années 2000. Le projet MoCoS, financé par l’UE, développe une extension de cette cohomologie motivique au contexte arithmétique, voire singulier. Il s’appuie sur des percées récentes en théorie de l’homotopie et en géométrie arithmétique, notamment l’homologie cyclique topologique et les perfectoïdes.
Objectif
The project belongs to the field of arithmetic algebraic geometry and is centred around algebraic K-theory, motivic cohomology, and topological cyclic homology. The overall goal is to develop a general theory of motivic cohomology for arbitrary schemes, extending the existing theory of Bloch, Levine, Suslin, Voevodsky, and others in the special case of smooth algebraic varieties. This will describe non-connective algebraic K-theory via an Atiyah--Hirzebruch spectral sequence. The project relies on very recent breakthroughs in algebraic K-theory and topological cyclic homology.
In the case of singular algebraic varieties, our goal will be to develop a theory of motivic cohomology which both satisfies singular analogous of the Beilinson--Lichtenbaum conjectures and is also compatible with the trace maps to negative cyclic and topological cyclic homology. Its properties will refine those of K-theory in the presence of singularities; for example, we will study a motivic refinement of Weibel's vanishing conjecture and a theory of ``infinitesimal motivic cohomology'' satisfying cdh descent.
In the case of regular arithmetic schemes we will propose a new approach to the theory of p-adic motivic cohomology, based on topological cyclic homology and syntomic cohomology, which works in much greater generality than previous approaches. Perfectoid techniques will play an important role and we will establish the p-adic Beilinson--Lichtenbaum and Bloch--Kato conjectures.
Champ scientifique
Programme(s)
Régime de financement
ERC-COG - Consolidator GrantInstitution d’accueil
75794 Paris
France