Description du projet
Des méthodes analytiques pour les systèmes dynamiques et problèmes d’origine géométrique
Le projet ADG, financé par le CER, se propose de développer de nouveaux outils mathématiques afin d’étudier un large éventail de systèmes dynamiques à l’aide de techniques d’analyse des équations harmoniques et des équations à dérivées partielles. Il appliquera ensuite ces nouvelles découvertes à divers problèmes d’origine géométrique. La première étape portera essentiellement sur les systèmes qui présentent un comportement hyperbolique faible où les méthodes analytiques sont beaucoup moins bien comprises, en explorant les propriétés statistiques de ces systèmes et les solutions à l’équation de transport et/ou à l’équation cohomologique. La deuxième étape portera sur les questions de rigidité en géométrie et en dynamique, telles que le spectre des longueurs marquées, la rigidité des frontières et/ou des lentilles et la conjecture d’entropie de Katok. Enfin, il exploitera des techniques microlocales afin d’examiner les représentations d’Anosov et l’extension méromorphique des séries de Poincaré correspondantes.
Objectif
The aim of this project is to study a broad class of dynamical systems by using tools from the fields of harmonic analysis and PDEs (semiclassical, microlocal analysis), and to apply these new results to a variety of problems of geometric origin.
In a first part, we will mainly focus on systems exhibiting a weak hyperbolic behaviour (partially, non-uniformly hyperbolic systems) for which analytic techniques are far less understood compared to the uniformly hyperbolic setting. We plan to study statistical properties of such systems, and the regularity of solutions to transport / cohomological equations. Then, we will address rigidity questions in geometry and dynamics such as marked length spectrum or boundary / lens rigidity, Katok's entropy conjecture. In a third part, we aim to study Anosov representations and meromorphic extension of related Poincar series via microlocal techniques. We expect the tools developed in the first part will help to understand part two and three.
1) Statistics of weakly hyperbolic flows, study of transport questions. Ergodicity, mixing, polynomial or exponential mixing of partially hyperbolic / non-uniformly hyperbolic systems. We also plan to study cohomological equations and prove Livv sic-type theorems. Finally, we will study equilibrium measures (existence, uniqueness, and properties) for compact extensions of Anosov diffeos / flows.
2) Geometric and dynamical rigidity for flows / actions. Marked or unmarked length spectrum rigidity conjecture for (non-)uniformly hyperbolic geodesic flows, lens and boundary rigidity, Katok's entropy rigidity conjecture, rigidity of Anosov actions (Katok-Spatzier's conjecture), Kanai's regularity conjecture.
3) Anosov representations. Spectral theory of Anosov actions on infinite volume manifolds, meromorphic extensions of Poincar series. If finite, we aim to compute the value of these series at the spectral parameter 0.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Mots‑clés
Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thème(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) ERC-2024-STG
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75794 Paris
France