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Hilbert Modular Forms and Diophantine Applications

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Des sujets pointus traitant spécifiquement de la théorie des nombres

Un projet financé par l'UE a permis de concevoir de nouveaux outils analytiques pour les solutions informatiques aux équations mathématiques complexes. Leur développement devrait faciliter la résolution de questions restées longtemps en suspend dans la théorie des nombres et fournir un nouveau module essentiel aux logiciels disponibles sur le marché.

Économie numérique

L'une des équations des plus simples, dans la mesure où les mathématiques sont concernées, est restée l'objet d'un débat pendant plus de 350 ans en dépit du fait qu'il s'agisse du théorème présentant le plus de preuves erronées non publiées de tous les temps. Le dernier théorème de Fermat, formulé dans les années 1600, stipule qu'il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que: xn + yn = zn dès que n est un nombre strictement supérieur à 2 (si n=2, l'équation est celle du célèbre théorème de Pythagore). Andrew Wiles a finalement démontré le théorème en 1994, ouvrant la voie aux avancées dans de nombreux domaines liés aux mathématiques et, en particulier, la théorie des nombres. Des chercheurs européens se sont employés à étendre les travaux de Wiles et d'autres au domaine de l'automorphisme de la forme et aux formes modulaires de Hilbert dans le cadre du projet HMF («Hilbert modular forms and Diophantine applications»). L'automorphisme de la forme est l'un des sujets les plus complexes de la théorie des nombres et trouve une application très large, en plus de son utilisation par Wiles pour démontrer le dernier théorème de Fermat. Il est intrinsèquement lié aux nombres premiers, qui depuis quelques années constituent la base des transactions sécurisées sur l'Internet. Par ailleurs, l'une des méthodes les plus importantes concernant la construction de formes basées sur l'automorphisme est également fondamentale à la mécanique quantique. Les formes modulaires sont un cas spécial dans l'automorphisme. Ce sont des fonctions hautement symétriques sur l'ensemble des courbes elliptiques. Les formes modulaires de Hilbert ont de nombreuses applications relatives à ce qu'on appelle les équations diophantiennes, des équations polynomiales indéterminées pour lesquelles les variables ne peuvent être que des nombres entiers.Étant donné que la résolution de nombreux problèmes diophantiens nécessite une compréhension explicite de l'automorphisme de forme et des formes modulaires de Hilbert, plus difficiles, l'équipe du projet HMF a conçu des algorithmes robustes pour calculer les formes modulaires de Hilbert qui ont été intégrées à MAGMA, un logiciel de calcul formel. Les travaux du projet ont ainsi contribué à résoudre une conjecture mathématique majeure, restée longtemps en suspend, et fourni des preuves importantes concernant d'autres. Les résultats du projet HMF ont fait progresser le domaine de l'automorphisme de forme et apporté une contribution à d'importants algorithmes destinés à un programme de calcul bien établi sur le marché. De nombreuses applications des travaux liés à la fois à la recherche fondamentale en mathématiques et à la recherche appliquée concernant la théorie des nombres sont attendues.

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