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Singularities of Lie Group Actions in Geometry and Dynamics

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Reduktionstheorie und relative Gleichgewichte

Die Mathematik beschreibt Phänomene unter verschiedenen Bedingungen und bildet auf diese Weise die Grundlage für leistungsfähige Rechenmodelle. Neuartige Frameworks sollten Einblick in das dynamische Verhalten zahlreicher physikalischer Systeme gewähren.

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Mathematische Methoden erleichtern das Aufstellen von Aussagen über Verhaltensweisen, die in Experimenten nachgeprüft werden können. Der fortlaufende Zyklus von Modellierung und Experimentieren oder Beobachten erschafft eine immer realistischere Beschreibung von nahezu jedem Verhalten im Universum. Sei es die Entstehung von Sternen oder das Schmelzen von Kunststoffen - Mathematik erklärt das Wie und Warum, solange man die Sprache versteht. Die Lie-Gruppen-Theorie spielt eine immer wichtigere Rolle bei den grundlegenden Beschreibungen der modernen Physik, mit denen viele verwandte Bereiche vereinheitlicht werden. Sie ist die Grundlage der modernen Theorie der Elementarteilchen und hat damit entscheidende Bedeutung für Beschreibungen der Beschaffenheit des Weltalls. Das EU-finanzierte Projekt "Singularities of Lie group actions in geometry and dynamics" (SILGA) konzentrierte sich auf zwei spezielle Anwendungen von Lie-Gruppen. Einer der Forschungsschwerpunkte in diesem Bereich ist im Wesentlichen eine Vereinfachung dieser mathematische Darstellungen auf eine Weise, welche noch die zugrunde liegenden mechanischen und physikalischen Eigenschaften der zu untersuchenden Systeme verschlüsselt (Reduktionstheorie). Derartige Grundlagen sind für Beschreibungen moderner mathematischer Konzepte wie etwa die Stringtheorie wichtig und bildeten die globale Perspektive des Projekts. Die lokale Perspektive der Untersuchung lag auf den relativen Gleichgewichten hamiltonscher Systeme. Mathematik nutzt Symmetrien, um wichtige qualitative Informationen, beispielsweise im Zusammenhang mit der Stabilität oder Verzweigungen, in einer kleinen Umgebung einer Lösung bereitzustellen. SILGA setzte halblokale Methoden ein, um eine für die Reduktionstheorie relevante mathematische Form zu erhalten. So gelangte man erfolgreich zu weiterführenden mathematischen Beschreibungen verschiedener Phänomene in mehreren dynamischen und geometrischen Zusammenhängen. In bahnbrechender Arbeit schuf man ein gemeinsames Rahmenwerk für relative Gleichgewichte hamiltonscher Systeme. Es wurde angewendet, um praktisch jedes vorhergehende Ergebnis zu relativen Gleichgewichten zu beweisen, was die Theorie mit neuen Resultaten voranbrachte. Das Projekt hat die mathematischen Grundlagen weiterentwickelt, die notwendig sind, um eine Reihe von Verhaltensweisen vorherzusagen und zu beschreiben, die für die moderne Physik entscheidend sind. Auf diesem Weg trieben die Forscher ihre Verfahren und ihr Wissen unaufhaltsam voran, was nachhaltige Auswirkungen auf den von ihnen gewählten beruflichen Werdegang haben wird.

Schlüsselbegriffe

Reduktionstheorie, relative Gleichgewichte, Mathematik, Rechenmodelle, Computermodelle, physikalische Systeme, Lie-Gruppe, Physik, Singularitäten, Lie-Gruppen-Wirkungen, Geometrie, Hamilton, Symmetrien

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