Les mathématiques des films liquides minces
Le déplacement d'un liquide comme l'eau, sous l'influence de la tension superficielle, est un phénomène que nous rencontrons couramment par exemple en prenant une douche ou en déclenchant les essuie-glaces de notre voiture. De nombreux processus industriels consistent à déposer une mince couche de liquide visqueux à la surface d'un solide, dans des conditions soigneusement contrôlées. Citons ainsi le revêtement interne des ampoules fluorescentes ou le dépôt de différents revêtements sur les écrans des téléviseurs. Le projet TFE («Investigation of mathematical models for thin-film flows»), financé par l'UE, s'est intéressé à de nombreux aspects de ces films liquides et de leurs interactions avec une surface solide. Les chercheurs ont modélisé la dynamique des films liquides par la méthode de l'approximation de la lubrification, qui sert à simplifier les équations de Navier–Stokes. En théorie, ces équations donnent la vitesse et la pression d'un fluide passant à proximité de la surface d'un objet. Les chercheurs du projet TFE ont commencé par étudier une gouttelette de surfactant, un produit qui réduit la tension superficielle afin de faciliter l'étalement d'un film liquide. Cette méthode est un classique de la modélisation et sert à mieux comprendre la dynamique complexe des fluides que l'on constate lors des expériences en laboratoire. Elle sert aussi de base à une analyse mathématique approfondie des films de polymères en plusieurs couches et des alliages binaires (un mélange de deux types d'atomes) confinés par des parois. Comme nous l'avons tous constaté en briquant notre voiture ou en utilisant des ustensiles de cuisine anti-adhérents, la dynamique de l'écoulement d'un fluide sur une surface solide dépend fortement de la nature de celle-ci. Les chercheurs de TFE ont donc trouvé un ensemble de solutions pour décrire l'évolution dynamique du film de contact sous l'influence des forces entre les molécules, qu'elles soient attractives (van der Waals) ou répulsives (Born). Ils ont aussi imaginé d'autres méthodes très attendues pour résoudre les équations de lubrification en cas de divergence de la composante tangentielle de la force exercée par le fluide sur la surface solide. La théorie classique impose que la vitesse du fluide soit nulle au contact avec le solide. C'est logique pour des équations de Navier–Stokes dans des écoulements limités par des parois, mais la validité de cette contrainte était remise en question pour un contact mobile. L'étude systématique de telles équations pourrait exiger de nouvelles méthodes numériques. Les travaux du projet TFE apportent néanmoins la possibilité de mieux comprendre les processus conduisant aux comportements observés. On peut espérer qu'ils soulèveront davantage d'intérêt pour les problèmes mathématiques associés, ce qui pourrait être avantageux pour des utilisations en biologie, en médecine et dans l'industrie.
