Matematyka linii kontaktu z cienkimi warstwami cieczy
Codziennie doświadczamy ruchów cieczy (na przykład wody) wynikających z napięcia powierzchniowego, chociażby wchodząc pod prysznic czy włączając wycieraczki w samochodzie. Wiele procesów przemysłowych wymaga nakładania cienkiej warstwy lepkiej cieczy na powierzchnię ciała stałego w ściśle kontrolowanych warunkach. Typowe przykłady to procesy powlekania wnętrza świetlówek lub nakładania różnego rodzaju powłok na ekrany telewizorów. Dzięki dofinansowaniu UE projekt "Investigation of mathematical models for thin-film flows" (TFE) przyjrzał się wielu aspektom cienkich warstw cieczy i ich interakcji z powierzchniami ciał stałych. Aby zamodelować dynamikę cienkich warstw cieczy, badacze posłużyli się przybliżeniem ze smarowaniem, które pozwala uprościć równania Naviera-Stokesa. Rozwiązania równań Naviera-Stokesa pozwalają wyznaczyć teoretycznie prędkość i ciśnienie cieczy przepływającej przez dowolny punkt w pobliżu powierzchni obiektu. Uczestnicy projektu TFE zaczęli od zbadania zachowania kropli substancji powierzchniowo czynnej, która zmniejsza napięcie powierzchniowe i ułatwia rozprowadzanie cienkich warstw cieczy. Jest to klasyczna konfiguracja do testowania modeli ułatwiających zrozumienie skomplikowanej dynamiki płynów obserwowanej w doświadczeniach laboratoryjnych. Na jej podstawie opracowano też szczegółową analizę matematyczną wielowarstwowych błon polimerowych i stopów podwójnych ograniczonych ścianami, powstających z mieszaniny trzech rodzajów atomów. Dynamika przepływu cieczy po powierzchni ciała stałego w dużym stopniu zależy od chemii powierzchni, o czym przekonujemy się na co dzień na przykład podczas woskowania samochodu lub smażenia na patelni w powłoką zapobiegającą przywieraniu. Z tego względu badacze z projektu TFE wypracowali szereg rozwiązań opisujących linię styku dynamicznie zmieniającą się pod wpływem sił występujących między cząsteczkami: przyciągających (sił van der Waalsa) i odpychających (sił Borna). Ponadto opracowano pilnie potrzebne alternatywne metody rozwiązywania równań smarowania w przypadku rozbieżności stycznej składowej siły wywieranej przez ciecz na powierzchnię ciała stałego. Klasyczna dynamika cieczy wymaga, aby na granicy z ciałem stałym ciecz miała zerową prędkość. O ile ma to sens w przypadku równań Naviera-Stokesa dotyczących przepływów ograniczonych ścianami, badacze zakwestionowali zasadność tego warunku przy ruchomej linii styku. Systematyczne badanie takich rozwiązań modeli może wymagać opracowania nowych metod numerycznych. Wyniki projektu TFE pozwalają jednak lepiej zrozumieć procesy prowadzące do obserwowanych prawidłowości. Oczekuje się, że wykonane prace zwiększą zainteresowanie tymi zagadnieniami matematycznymi z korzyścią dla zastosowań praktycznych w biologii, medycynie i przemyśle.
