Teoría de la homotopía de las categorías superiores
De forma parecida a la equivalencia surgida de la interpretación de las ecuaciones matemáticas, la teoría de los espacios topológicos añade el axioma de la equivalencia. En la homotopía, dos espacios topológicos se consideran el mismo si uno se puede deformar para dar lugar al otro. En el marco del proyecto HOMALGHIGH (Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory), financiado por la Unión Europea, los matemáticos pretendían aprovechar esta idea de homotopía entre espacios topológicos y, para ello, aplicaron ideas y técnicas de la teoría de la homotopía a la teoría de las categorías superiores. La teoría de las categorías superiores organiza los objetos de estudio en categorías y ofrece un lenguaje común para describirlas: el de la n-categoría débil. Por ejemplo, en informática y física, surgen categorías de espacios topológicos y otras estructuras complejas. Los matemáticos de HOMALGHIGH se centraron en estructuras que se asemejan a estructuras algebraicas sencillas, pero que son, en realidad, más complejas. Mediante el proceso de rigidificación, se crearon formas de convertirlas homotópicamente equivalentes a estructuras más sencillas. La rigidificación de n-categorías débiles dio como resultado un nuevo tipo de estructuras categóricas de carácter superior que se llaman categorías globulares de orden n. Los matemáticos han mostrado que estas son equivalentes a las estructuras clásicas de bicategorías, que se utilizan continuamente en la teoría de la homotopía. También se buscaron formas nuevas de describir las piezas básicas de una clase específica de espacios topológicos llamados n-tipos y de calcular las invariantes de los espacios de los lazos iterativos. Como espacios topológicos, ofrecen mapas continuos desde un círculo a otro espacio topológico, el espacio de los lazos. Los resultados de HOMALGHIGH que allanan el camino hacia aplicaciones se han descrito en varias publicaciones cargadas en el repositorio arXiv. No obstante, es necesario conocer mejor las relaciones entre la homotopía y las teorías de orden superior para abordar los numerosos retos que surgen durante la implementación práctica en aplicaciones para la informática.
Palabras clave
Teoría de la homotopía, topología algebraica, álgebra homológica, teoría de categorías superiores, matemáticas, HOMALGHIGH
