Teoria homotopii wyższych kategorii
Podobnie jak w przypadku równoważności powstającej w wyniku interpretacji równań matematycznych, teoria przestrzeni topologicznych dodaje aksjomat równoważności. W homotopii, dwie przestrzenie topologiczne uważa się za takie same, jeśli jedną z nich można przekształcić w drugą. W ramach projektu HOMALGHIGH (Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory), finansowanego ze środków UE, matematycy starali się wykorzystać tę koncepcję homotopii między przestrzeniami topologicznymi. W tym celu koncepcje i techniki z zakresu homotopii zastosowano do teorii kategorii wyższego rzędu. Teoria kategorii wyższego rzędu dzieli przedmiot badania na kategorie i oferuje ujednolicony język do ich opisu — język słabych n-kategorii. Na przykład w informatyce i fizyce występują kategorie przestrzeni topologicznych i innych struktur złożonych. Matematycy z projektu HOMALGHIGH skupiali się na strukturach przypominających proste struktury algebraiczne, ale które w rzeczywistości są bardziej złożone. Wykorzystując tzw. proces usztywniania, uczeni poszukiwali sposobów, aby uczynić je homotopijnie równoważnymi w stosunku do prostszych struktur. Usztywnianie słabych n-kategorii pozwoliło na uzyskanie nowego ważnego rodzaju struktur o wyższej kategorii, nazywanych kulistymi kategoriami n-krotnymi. Matematycy wykazali, że są one równoważne z klasycznymi strukturami dwukategorii, powszechnie występującymi w teorii homotopii. Poszukiwano także nowych sposób opisu elementów budulcowych szczególnej klasy przestrzeni topologicznych nazywanych n-typami oraz obliczenia niezmienników iterowanych przestrzeni pętli. Będąc przestrzeniami topologicznymi, pozwalają one na ciągłe odwzorowanie z okręgu do innej przestrzeni topologicznej, przestrzeni pętli. Rezultaty projektu HOMALGHIGH opisano w szeregu publikacji, które można znaleźć w repozytorium arXiv. Potrzebna jest jednak pełniejsza wiedza na temat powiązań między teorią homotopii i teorią kategorii wyższego rzędu, aby móc rozwiązać liczne problemy dotyczące ich praktycznego zastosowania w informatyce.
Słowa kluczowe
Teoria homotopii, topologia algebraiczna, algebra homologiczna, teoria kategorii wyższego rzędu, matematyka, HOMALGHIGH
