Teoria delle categorie superiori di omotopia
Analogamente a quanto accade per l’equivalenza ottenuta nell’interpretazione delle equazioni matematiche, la teoria degli spazi topologici aggiunge l’assioma dell’equivalenza. Nell’ambito dell’omotopia, due spazi topologici sono considerati uguali se uno si presta a essere deformato nell’altro. Nell’ambito del progetto HOMALGHIGH (Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory), finanziato dall’UE, i matematici hanno cercato di utilizzare questa idea di omotopia tra spazi topologici. A tale fine, idee e tecniche provenienti dalla teoria dell’omotopia sono state applicate alla teoria delle categorie superiori. La teoria delle categorie superiori organizza i propri oggetti di studio in categorie e offre un linguaggio comune per descriverli (relativo a n-categorie deboli). Per esempio, in informatica e in fisica, vi sono categorie di spazi topologici e altre strutture complesse derivanti. I matematici di HOMALGHIGH hanno rivolto la propria attenzione a strutture apparentemente simili a semplici strutture algebriche ma che, di fatto, sono più complesse. Attraverso il processo della cosiddetta rigidificazione, sono stati inventati dei metodi per rendere tali categorie omotopicamente equivalenti in strutture più semplici. La rigidificazione per le n-categorie deboli ha prodotto un nuovo importante tipo di strutture categoriali superiori, dette n-categorie globulari. I matematici hanno dimostrato che queste sono equivalenti alle strutture classiche delle biocategorie, onnipresenti nella teoria dell’omotopia. Sono stati ricercati nuovi metodi per descrivere gli elementi costitutivi di una specifica classe di spazi topologici chiamati n-tipi e per calcolare gli invarianti degli spazi con ciclo iterato. In virtù delle loro caratteristiche topologiche, questi spazi offrono mappe continue che vanno da un cerchio a un altro spazio topologico, ovvero il cosiddetto spazio dei cicli. I risultati del progetto HOMALGHIGH che aprono la strada per le applicazioni sono stati descritti in una serie di pubblicazioni caricate sull’ archivio arXiv. Tuttavia, per affrontare le molteplici sfide di attuazione pratica in quanto ad applicazioni informatiche, è necessaria una migliore comprensione delle connessioni tra omotopia e teorie delle categorie superiori.
Parole chiave
Teoria dell’omotopia, topologia algebrica, algebra omologica, teoria delle categorie superiori, matematica, HOMALGHIGH
