La géométrisation de théories physiques
Hamilton et Lagrange ont défini deux formulations de base de la mécanique classique. Elles sont élégantes et générales car elles apportent un cadre unifié dans lequel traiter des systèmes mécaniques apparemment différents. Dans l'étude de systèmes de particules et de corps rigides, la présence de symétries et des invariants associés a une importance majeure. Depuis le milieu du siècle dernier, la mécanique classique a évolué de concert avec des domaines mathématiques très dynamiques comme la géométrie différentielle, la théorie des groupes de Lie, et la théorie des variations de Poisson et symplectiques. Le but du projet GEOMECH (Geometric mechanics), financé par l'UE, était de développer la modélisation géométrique de théories physiques. Pour cela, il a étudié les structures géométriques soutenant ces théories. Des scientifiques venant de sept pays ont appliqué les outils et le langage de la mécanique géométrique moderne pour étudier, par exemple, des systèmes mécaniques dotés de roues. Ces systèmes sont qualifiés de non holonomes. Contrairement aux systèmes lagrangiens ou hamiltoniens classiques, ces systèmes plus généraux sont soumis à des contraintes sur les vitesses. Pendant le projet GEOMECH, les scientifiques ont partagé leurs connaissances sur de tels systèmes non holonomes, afin d'améliorer la compréhension de leur comportement, lequel va souvent à l'encontre de l'intuition. Ils ont travaillé à diverses méthodes de discrétisation adaptées pour tenir compte des contraintes. Ils ont construit des intégrateurs géométriques pour des systèmes dont les contraintes sont affines au niveau des vitesses. Les scientifiques de GEOMECH ont aussi traité les effets de la symétrie sur les théories classiques des champs. Les symétries continues sont représentées mathématiquement par des actions de groupes de Lie. Ceci a permis de réduire le nombre de degrés de liberté du système auquel elles s'appliquent, en regroupant des états équivalents et en exploitant des quantités conservées. En outre, les scientifiques de GEOMECH ont introduit le principe variationnel Hamilton-Pontryagin dans le cadre de théories classiques des champs. Ils ont montré que les équations résultantes de champ implicite peuvent être décrites par une extension du concept des structures de Dirac, plus exactement par une version progressive de ces structures. Les chercheurs ont également progressé dans l'étude des systèmes mécaniques dépendant du temps et descriptibles comme un cas particulier des théories de champ. Leurs travaux sur l'analyse géométrique d'équations différentielles du second ordre ont porté sur le problème inverse du calcul des variations. Ce problème consiste à étudier si un système d'équations différentielles est équivalent à un système lagrangien. Les nombreux résultats du projet GEOMECH ont été décrits dans plus de 90 articles, publiés ou soumis à des revues à comité de lecture. Les travaux réalisés en collaboration par les institutions partenaires ont donné le jour à de nouvelles idées soutenant la recherche européenne en mathématiques. L'espoir est que l'établissement de relations continuera après la fin du projet.
Mots‑clés
GEOMECH, mécanique géométrique, théorie géométrique de contrôle, théories classiques de champ, calcul des variétés
