Geometryzacja teorii fizycznych
Mechanika Hamiltona i mechanika Lagrange'a to dwie koncepcje stanowiące przeformułowanie mechaniki klasycznej. Są one zarówno eleganckie, jak i ogólne w tym znaczeniu, że stanowią ujednolicone ramy pozwalające opisywać pozornie odmienne układy mechaniczne. W badaniach układów punktów materialnych i ciał sztywnych niezwykle ważną rolę odgrywa symetria i powiązane z nią inwarianty. Od połowy ubiegłego wieku mechanika klasyczna ewoluuje wraz z dynamicznie rozwijającymi się dziedzinami matematyki, takimi jak geometria różniczkowa, teoria rozmaitości symplektycznych i Poissona czy teoria grup Liego. Celem finansowanego ze środków UE projektu GEOMECH (Geometric mechanics) było dalsze modelowanie geometryczne teorii fizycznych. Zbadano struktury geometryczne stojące za tymi teoriami. Naukowcy z siedmiu krajów zastosowali narzędzia i język współczesnej mechaniki geometrycznej i geometrycznej teorii sterowania do zbadania, między innymi, układów mechanicznych posiadających obracające się koła. Układy te są przykładami tzw. układów nieholonomicznych. W przeciwieństwie do klasycznych układów Lagrange'a czy Hamiltona te bardziej ogólne układy podlegają ograniczeniom w zakresie prędkości. W ramach projektu GEOMECH naukowcy dzielili się wiedzą na temat takich układów nieholonomicznych oraz badali ich sprzeczne z intuicją zachowania. Wspólnie opracowali różne schematy dyskretyzacji dostosowane do różnych ograniczeń. Skonstruowali również całki geometryczne dla układów z ograniczeniami afinicznymi w zakresie prędkości. Naukowcy GEOMECH zajęli się również zjawiskiem symetrii w klasycznej teorii pola. Symetrie ciągłe są reprezentowane matematycznie przez działania na grupach Liego. Można je wykorzystać do zmniejszenia liczby stopni swobody układu, na który działają, poprzez zgrupowanie równoważnych stanów oraz wykorzystanie wielkości zachowawczych. Ponadto do ram klasycznej teorii pola wprowadzono zasadę wariacyjną nazywaną zasadą Hamiltona-Pontriagina. Uczestnicy projektu GEOMECH wykazali, że uzyskane w ten sposób niejawne równania pola można opisać poprzez rozszerzenie koncepcji struktury Diraca. W szczególności przydatne są struktury Diraca z gradacją. Poczyniono także postępy w badaniach nad układami mechanicznymi zależnymi od czasu, które opisano jako szczególny przypadek teorii pola. Podczas analizy geometrii różniczkowej równań różniczkowych drugiego rzędu uwzględniono odwrotny problem rachunku wariacyjnego. Ten ostatni dotyczy zadania polegającego na ustaleniu, czy dany układ równań różniczkowych jest równoważny układowi Lagrange'a. Wyniki uzyskane w ramach projektu GEOMECH zostały opisane w ponad 90 artykułach opublikowanych w czasopismach naukowych lub do nich przesłanych. Współpraca pomiędzy instytutami partnerskimi zaowocowała nowymi koncepcjami wspierającymi badania matematyczne w Europie. Badacze mają nadzieję, że współpraca ta będzie kontynuowana również po zakończeniu projektu.
Słowa kluczowe
GEOMECH, mechanika geometryczna, geometryczna teoria sterowania, klasyczna teoria pola, rachunek wariacyjny
