Geometrisierung physikalischer Theorien
Hamilton und Lagrange lieferten bekanntermaßen zwei grundlegende Formulierungen der klassischen Mechanik. Diese Formulierungen sind sowohl elegant als auch allgemein gültig in dem Sinne, dass sie einen einheitlichen Rahmen zur Behandlung scheinbar unterschiedlicher mechanischer Systeme bieten. Für die Untersuchung von Systemen von Partikeln und starren Körpern spielt das Vorhandensein von Symmetrien und ihrer zugehörigen Invarianten eine entscheidende Rolle. Seit Mitte des letzten Jahrhunderts hat sich die klassische Mechanik Hand in Hand mit im Aufschwung begriffenen Gebieten der Mathematik weiterentwickelt, dazu zählen etwa die Differentialgeometrie, die Theorie von symplektischen und Poisson-Verteilungen sowie die Lie-Gruppen. Ziel des EU-geförderten Projekts GEOMECH (Geometric mechanics) war die Weiterentwicklung der geometrischen Modellierung von physikalischen Theorien. Dafür wurden die zugrundeliegenden geometrischen Strukturen dieser Theorien untersucht. Wissenschaftler aus sieben Ländern wandten die Werkzeuge und die Sprache der modernen geometrischen Mechanik und der geometrischen Kontrolltheorie an, um zum Beispiel mechanische Systeme mit rollenden Rädern zu untersuchen. Diese Systeme sind Beispiele für sogenannte nichtholonome Systeme. Im Unterschied zu klassischen Lagrange- oder Hamilton-Systemen unterliegen diese allgemeineren Systeme Beschränkungen hinsichtlich ihrer Geschwindigkeiten. Im Verlauf von GEOMECH teilten die Wissenschaftler ihr Wissen zu solchen nichtholonomen Systemen, um das aktuelle Verständnis ihres oft kontraintuitiven Verhaltens zu vertiefen. Sie arbeiteten gemeinsam an verschiedenen Diskretisierungsschemata, die sie anpassten, um die Einschränkungen zu berücksichtigen. Sie konstruierten geometrische Integratoren für Systeme mit Einschränkungen, die in den Geschwindigkeiten affin sind. Die GEOMECH-Wissenschaftlern behandelten außerdem die Effekte von Symmetrien in der klassischen Feldtheorie. Kontinuierliche Symmetrien werden mathematisch durch Lie-Gruppen-Wirkungen repräsentiert. Diese wurden verwendet, um die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems zu reduzieren, in dem sie agieren, indem äquivalente Zustände in Gruppen vereint und Erhaltungsgrößen ausgenutzt wurden. Darüber hinaus wurde ein Variationsprinzip, das sogenannte Hamilton-Pontryagin-Prinzip, im Rahmen der klassischen Feldtheorie eingeführt. Die GEOMECH-Wissenschaftler wiesen nach, dass die resultierenden Feldgleichungen durch eine Erweiterung des Konzepts von Dirac-Strukturen beschrieben werden können. Insbesondere können mithilfe einer abgestuften Version von Dirac-Strukturen beschrieben werden. Fortschritte erzielte man gleichermaßen bei der Untersuchung zeitabhängiger mechanischer Systeme, die als ein Sonderfall von Feldtheorien beschrieben werden können. Die Untersuchung der geometrischen Differentialanalyse von Differentialgleichungen zweiter Ordnung umfassten das inverse Problem der Variationsrechnungen. Letztere befasst sich mit dem Problem, ob ein System aus Differentialgleichungen äquivalent zu einem Lagrange-System ist. Die vielen Ergebnisse von GEOMECH wurden in mehr als 90 Publikationen veröffentlicht oder zur Veröffentlichung in Peer-Review-Zeitschriften eingereicht. Die Zusammenarbeit zwischen den Partnereinrichtungen brachte neue Ideen zur Unterstützung der mathematischen Wissenschaften in Europa hervor. Man hofft, dass die etablierten Verbindungen über das Ende des Projekts hinaus weiter gestärkt werden.
Schlüsselbegriffe
GEOMECH, geometrische Mechanik, geometrische Kontrolltheorie, klassische Feldtheorien, Variationsrechnung
