Geometrización de las teorías físicas
Las formulaciones de Hamilton y Lagrange son dos formulaciones básicas de la mecánica clásica elegantes y generales en el sentido de que proporcionan un marco unificado donde tratar sistemas mecánicos aparentemente distintos. Al estudiar sistemas de partículas y cuerpos rígidos, la presencia de simetrías y de las invariantes asociadas a ellas desempeña un papel esencial. Desde mediados del siglo pasado, la mecánica clásica ha evolucionado de la mano de áreas de las matemáticas en expansión, como la geometría diferencial o la teoría de las variedades simplécticas y de Poisson y los grupos de Lie. El objetivo del proyecto GEOMECH (Geometric mechanics), financiado por la Unión Europea, fue avanzar en la modelización geométrica de las teorías físicas. Para ello, se han estudiado las estructuras geométricas subyacentes a estas teorías. Científicos de siete países aplicaron las herramientas y el lenguaje de la mecánica geométrica moderna y la teoría del control geométrico para estudiar, por ejemplo, sistemas mecánicos con ruedas rodantes. Estos sistemas son ejemplos de los sistemas llamados no holónomos. A diferencia de los sistemas lagrangianos o hamiltonianos clásicos, estos sistemas más generales están sujetos a restricciones en la velocidad. En el transcurso del proyecto GEOMECH, los científicos compartieron sus conocimientos sobre este tipo de sistemas no holónomos para profundizar en el conocimiento actual de su comportamiento, que a menudo es contrario a la intuición. Trabajaron conjuntamente en distintas formas de discretización adaptadas para tener en cuenta las restricciones. Se construyeron integradores geométricos para sistemas con restricciones afines en las velocidades. Los científicos de GEOMECH también trataron los efectos de las simetrías sobre las teorías clásicas de campos. Las simetrías continuas se representan matemáticamente mediante acciones de grupos de Lie. Estas se utilizaron para reducir el número de grados de libertad del sistema sobre el cual actúan agrupando los estados equivalentes y aprovechando las cantidades que se conservan. Además, se introdujo un principio variacional, llamado el principio de Hamilton-Pontryagin, en el marco de la teoría clásica de campos. Los científicos de GEOMECH mostraron que las ecuaciones de campo implícitas que resultan se pueden describir como una extensión del concepto de estructura de Dirac. En particular, se pueden describir utilizando una versión graduada de las estructuras de Dirac. También se avanzó en el estudio de los sistemas mecánicos dependientes del tiempo, que se pueden describir como un caso especial de las teorías de campos. La investigación sobre el análisis geométrico diferencial de ecuaciones diferenciales de segundo orden incluyó el problema inverso del cálculo de variaciones. Esto último trata con el problema de si un sistema de ecuaciones diferenciales es equivalente a un sistema lagrangiano. Los numerosos resultados del proyecto GEOMECH se han descrito en más de noventa artículos publicados o enviados para su publicación en revistas sometidas a revisión. El trabajo colaborativo entre las instituciones asociadas aportó nuevas ideas que sirven como apoyo a la investigación en ciencias matemáticas en Europa. Se espera que los vínculos establecidos sigan fortaleciéndose más allá del fin del proyecto.
Palabras clave
GEOMECH, mecánica geométrica, teoría del control geométrico, teorías clásicas de campos, cálculo de variaciones
