Geometrizzazione delle teorie fisiche
Due formulazioni di Hamilton e di Lagrange sono alla base della meccanica classica. Queste formulazioni sono sia eleganti che generali, nel senso che prevedono un quadro unificato per trattare sistemi meccanici apparentemente diversi. Nello studio relativo a sistemi di particelle e corpi rigidi, la presenza di simmetrie e invarianti associate gioca un ruolo cruciale. Dalla metà del secolo scorso, la meccanica classica si è evoluta di pari passo con aree in forte espansione della matematica come la geometria differenziale, la teoria delle varietà simplettiche e di Poisson, e i gruppi di Lie. Lo scopo del progetto GEOMECH (Geometric mechanics), finanziato dall’UE, era quello di produrre ulteriori avanzamenti nella modellizzazione geometrica delle teorie fisiche. Sono state studiate le strutture geometriche alla base di queste teorie. Alcuni scienziati, provenienti da sette Paesi diversi, hanno applicato gli strumenti e il linguaggio delle moderne aree inerenti a meccanica geometrica e teoria geometrica del controllo, al fine di studiare, per esempio, i sistemi meccanici caratterizzati dalla presenza di ruote. Questi sistemi sono esempi dei cosiddetti sistemi non olonomici. A differenza dei sistemi lagrangiani o hamiltoniani classici, questi sistemi più generali sono sottoposti a vincoli relativi alle velocità. Durante il corso del progetto GEOMECH, gli scienziati hanno condiviso le proprie conoscenze circa tali sistemi non olonomici per approfondire l’attuale comprensione del loro comportamento spesso controintuitivo. Essi hanno collaborato a vari schemi di discretizzazione adattati con l’obiettivo di tenere conto dei vincoli. Sono stati costruiti integratori geometrici per sistemi con vincoli che sono affini nelle velocità. Gli scienziati del progetto GEOMECH hanno inoltre trattato gli effetti delle simmetrie nelle classiche teorie dei campi. Le simmetrie continue sono rappresentate a livello matematico da azioni di gruppi di Lie. Queste sono state utilizzate per ridurre il numero di gradi di libertà del sistema su cui agiscono raggruppando gli stati equivalenti e sfruttando le quantità conservate. Inoltre, è stato introdotto un principio variazionale, chiamato principio Hamilton-Pontryagin, nel quadro delle teorie dei campi classiche. Gli scienziati GEOMECH hanno dimostrato che le risultanti equazioni implicite possono essere descritte tramite un’estensione del concetto di strutture Dirac. In particolare, possono essere descritte tramite una versione graduata delle strutture di Dirac. Alcuni progressi sono stati conseguiti anche nello studio dei sistemi meccanici dipendenti dal tempo, il che può essere descritto come un caso speciale di teorie dei campi. La ricerca relativa all’analisi geometrica differenziale di equazioni differenziali del secondo ordine ha incluso il problema inverso inerente al calcolo delle variazioni. Quest’ultimo si occupa di vedere se un sistema di equazioni differenziali è equivalente a un sistema lagrangiano. I numerosi risultati del progetto GEOMECH sono stati descritti in più di 90 articoli pubblicati su riviste specializzate oppure sono stati inviati a tali riviste. Il lavoro di collaborazione tra gli istituti partner ha portato avanti nuove idee a sostegno della ricerca delle scienze matematiche in Europa. Si spera che i collegamenti stabiliti saranno ulteriormente rafforzati dopo la fine del progetto.
Parole chiave
GEOMECH, meccanica geometrica, teoria del controllo geometrico, teorie dei campi classiche, calcolo delle variazioni
