Eine neue Perspektive auf das magische Quadrat
In den 1950er Jahren führte der belgische Mathematiker Jacques Tits ein Konzept ein, das Hans Freudenthal später als "magisches Quadrat" bezeichnete. Hierbei handelt es sich im Grunde um eine 4 x 4 Zellen große Tabelle mit den "Identitäten" von Untergeometrien einer projektiven Geometrie, die – bis auf den letzten Eintrag –vollständig konstruiert wurde. Seitdem wurden die Geometrien des magischen Quadrats mit Instrumenten der algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie intensiv auf komplexe Zahlen untersucht. Im EU-finanzierten Projekt GELATI (Geometry of exceptional Lie algebras à la Tits) erforschten Mathematiker einen neuen Ansatz. Die Forscher konzentrierten sich auf die Geometrien der zweiten Zeile des magischen Quadrats und schlugen eine einheitliche geometrische Beschreibung der Analoga über beliebige Felder vor. Die formulierten Axiome sind eine abstraktere Version ihrer früheren Vertreter zur Beschreibung quadratischer Varietäten in Feldern, die eine endliche Anzahl von Elementen enthalten. Die GELATI-Forscher begannen bei der Geometrie der ersten Zelle der zweiten Zeile, um diese einheitliche Beschreibung zu erarbeiten. Die Definition der kleinsten komplexen Varietät wurde auf beliebige Felder und weiterhin auf alle Dimensionen generalisiert. Im nächsten Schritt wurden – anstatt von Kegelschnitten – sogenannte hyperbolische Quadriken in einem ungerade dimensionierten Raum und parabolische Quadriken in einem gerade dimensionierten Raum untersucht. Die Ergebnisse des GELATI-Projekts werden zu einem besseren Verständnis der geometrischen Bedeutung der Lie-Algebras führen und wurden in mehreren wissenschaftlichen Publikationen näher ausgeführt.
Schlüsselbegriffe
Magisches Quadrat, Lie-Algebra, Geometrie, Freudenthal-Tits, Darstellungstheorie
