Nowe spojrzenie na kwadrat magiczny
W latach 50. ub. wieku belgijski matematyk Jacques Tits stworzył po raz pierwszy to, co później Hans Freudenthal nazwał kwadratem magicznym. Była to tablica 4x4 posiadająca "dowody tożsamości" dla sub-geometrii geometrii rzutowej, która została już skonstruowana, z tym że bez ostatniej pozycji. Od tamtej pory geometrie kwadratu magicznego, zwanego też kwadratem magicznym Freudenthala-Titsa, były intensywnie badane na liczbach zespolonych, przy pomocy narzędzi z dziedziny geometrii algebraicznej i teorii reprezentacji. W ramach finansowanego ze środków UE projektu GELATI (Geometry of exceptional Lie algebras à la Tits) matematycy analizowali nowe podejście. Uczeni zajmowali się geometriami drugiego rzędu kwadratu magicznego Freudenthala-Titsa i zaproponowali jednolity opis geometryczny analogów w polach dowolnych. Opracowane aksjomaty są bardziej abstrakcyjną wersją powstałych wcześniej aksjomatów, dzięki czemu pozwalają na scharakteryzowanie rozmaitości kwadratowych na polach zawierających skończoną liczbę elementów. Aby osiągnąć to uogólnienie, zespół GELATI wyszedł od geometrii pierwszej komórki drugiego rzędu. Definicję najmniejszej rozmaitości zespolonej uogólniono do pól dowolnych oraz dalej do wszystkich wymiarów. Następny krok polegał na przeanalizowaniu, zamiast stożkowych, tzw. hiperbolicznych form kwadratowych w przestrzeni o nieparzystej liczbie wymiarów i parabolicznych form kwadratowych w przestrzeni o parzystej liczbie wymiarów. Rezultaty projektu GELATI, przyczyniające się do dokładniejszego zrozumienia geometrycznego algebr Liego, opisano w szeregu publikacji naukowych.
Słowa kluczowe
Kwadrat magiczny, algebry Liego, geometria, Freudenthala-Titsa, teoria reprezentacji
